一元二次方程大总结110题

【易】（初二第二学期期末试卷）下列方程是关于x的一元二次方程的是（ ） 211

【易】（北京市第56中学2010-2011学年度第一学期期中初三）方程 m22 m2x3mx20是一元二次方程，则m________． 2．根的概念 2

【易】（遵义市初中毕业生学业考试数学试题卷）已知x2是方程xmx60的 一个根，则方程的另一个根是________．

【易】（北京市朝阳外国语学校初二期中）已知关于x的方程 22 k1x5xk5k60的一个根是x0，则k值为（ ）

【易】(泸州市中考题)已知三角形的两边长分别为3和6，第三边长是方程 2 x6x80的根，则这个三角形的周长为_____________． 2

【中】（福建福州质量检查）已知x1是一元二次方程xmxn0的一个根，则 22 m2mnn的值为_____________． 211

【难】已知一元二次方程xx650两根为a、b，则的值是________ ab 2/38 越付出越富有，春卷们加油！ 3．待定系数 2

【易】若(x4)(x2)xpxq，则p，q的值是（ ）

【中】若关于x的方程(k15)xk(2x1)5有无穷多个解，则（ ）

2【中】在实数范围内把xx22分解因式得（ ）

【易】（綦江县初中毕业暨高中招生考试数学试卷）一元二次方程x16的解是 ________． 22

【中】（吉林省长春市）用直接开平方法解方程：x6x9(52x) 2

【难】（南昌）若方程xm0有整数根，则m的取值可以是________ 2

【难】如果方程xab有实数解，那么b的取值范围是_________ . 2

【难】当n______时，方程xpn0有解，其解为_________ 2．配方法 22

【易】（北京市中考）若把代数式xx23化为()xmk的形式，其中m、k为 常数，则mk________． 3/38 越付出越富有，春卷们加油！ 2

【易】当k为何值时，x2k(x4)15是完全平方式 3．公式法 2

【易】（兰州市初中毕业生数学学业考试）解方程：xx310

【难】（山西省太原市初中数学竞赛试卷）已知实数a0，b0，满足 2 aa2008，bb2008，则ab的值是________． 4．因式分解法 2

【易】（2013山东滨州）一元二次方程2xx310的解为______________． 2

【中】解方程：k2x3kx10；

【中】（北京市西城区（南区）2011-2012学年度第一学期期末）已知关于x的一元二 22 次方程x2mx3m8m40的两个实数根一个小于5，另一个大于2，求m的取 值范围． 222

【中】用因式分解法解方程：x3mx2mmnn0 （m、n为常数） 5．简单换元 2 xx

【易】解方程：560； xx11 4/38 越付出越富有，春卷们加油！ 22

【易】仿照例子解题：“已知x2x1x2x24 2 ，求xx2的值”，在求解这 个题目中，运用数学中的整体换元可以使问题变得简单，具体方法如下： 2 解：设x2xy，则原方程可变为：yy124 22 整理得yy24即：yy60解得y13，y22． 2 ∴xx2的值为3或2． 请仿照上述解题方法，完成下列问题： 222222 已知：xy32x2y424，求xy的值． 5432 2

【中】(江西省竞赛题)2 a6a2aa1 已知a是方程x3x10的根，则分式 3a 的值为_______． 4xx53

【难】解方程03232． x2xxx2x5x2 一元二次方程综合

【中】(四川省绵阳市中考数学真题试题)已知整数k5，若△ABC的边长均满足关于 2 x的方程x3kx80，则△ABC的周长是__________

【中】（世界数学团体锦标赛试题）如图，点E和点F分别是正方形ABCD中BC边 EF 和CD边上的点，且EAF45，则的最小值是___________ AB 5/38 越付出越富有，春卷们加油！ 一元二次方程的判别式 一、 判断一元二次方程根的情况 二、 根据根的情况求参数 三、 根的判别式在几何上的应用 一、 判断一元二次方程根的情况 2

【易】（珠海市初中毕业生学业考试数学）已知一元二次方程：①xx230，② 2 xx230．下列说法正确的是（ ）

【易】（广东省广州市中考题）若5k200，则关于x的一元二次方程 2 x40xk的根的情况是（ ）

【易】（北京市西城区（南区）第一学期期末） 关于x 2 的方程x2kxk10的根的情况描述正确的是（ ）

【易】（北大附中2010-2011学年度初二第二学期期中考试）若关于x的一元二次方 2 程kx3x10有两个不相等的实数根，则k的取值范围为（ ） 99

【中】（北京市西城区（南区）2011-2012学年度第一学期期末）已知关于x的一元二 22 次方程a1x2a2x10有实根，则a的取值范围是________． 6/38 越付出越富有，春卷们加油！ 2

【易】关于x的一元二次方程(12k)x2k1x10有两个不相等的实数根，求k 的取值范围． 2

【易】使得关于x的一元二次方程2x(kx4)x60无实数根的最小整数k（ ）

【中】（荆门市中考题）关于x的方程ax(a2)x20只有一解（相同解算一 解），则a的值为_________．

【中】（北方交大附中第二学期期末练习） 2 已知关于x的一元二次方程x2k3x6k0（k0）① ⑴求证：方程①总有两个不相等的实数根； ⑵设方程的两个实数根分别为x1，x2（其中xx），若y12是关于k的函数，且 yx1226x，求这个函数的解析式； ⑶在⑵的条件下，结合函数的图象回答：当自变量k的取值范围满足什么条件时， 2 y k

【中】（乐山市高中阶段教育学校招生统一考试数学） 22 已知关于x的一元二次方程x2k1xkk0． ⑴ 求证：方程有两个不相等的实数根； ⑵ 若△ABC的两边AB、AC的长是这个方程的两个实数根，第三边BC的长为5．当 △ABC是等腰三角形时，求k的值． 7/38 越付出越富有，春卷们加油！

【难】（厦门市初中毕业及高中阶段各类学校招生考试） 2 若x1，xx2是关于的方程xbxc0的两个实数根，且x12x2k（k是整数）， 222 则称方程xbxc0为“偶系二次方程”．如方程xx6270，xx280， 227 xx3022，xx6270，xx440，都是“偶系二次方程”． 4 2 ⑴ 判断方程xx120是否是“偶系二次方程”，并说明理由； 2 ⑵ 对于任意一个整数b，是否存在实数c，使得关于x的方程xbxc0是“偶系 二次方程”，并说明理由． 三、 根的判别式在几何上的应用 2

【中】方程xx9180的两个根是等腰三角形的底和腰，则这个三角形的周长 为 ．

【中】已知a 2 ，3是直角三角形的两边，第三边的长满足方程xx9200，则a的 值为 ．这样的直角三角形有 个． 8/38 越付出越富有，春卷们加油！ 2

【中】已知ABC的三边abc,,满足：bc8，bca12a52，试确定ABC的 形状．

【中】已知：a、b、c分别是ABC的三边长，当m0时，关于x的一元二次方程 22 c(xm)b(xm)2amx0有两个相等的实数根，求证：ABC是直角三角形．

【易】（眉山市初中学业水平暨高中阶段教育学校招生考试）已知三角形的两边长是 2 方程xx560的两个根．则该三角形的周长L的取值范围是（ ）

【中】已知ABC的两边AB、AC的长是关于x的一元二次方程 22 x(2k3)xk3k20的两个实数根，第三边BC的长是5 ⑴k为何值时，△ABC是以BC为斜边的直角三角形； ⑵k为何值时，△ABC是等腰三角形，并求ABC的周长 2

【易】（北大附中2010-2011学年度初二第二学期期末考试）已知方程xx520 的两个解分别为x1、x2，则x1x2x1x2的值为（ ）

【易】若方程xxk0有两负根，则k的取值范围是（ ） 11

【易】设x1、x2是方程x2k1xk20的两个不同的实根，且 xx12118，则k的值是___________． 2

【易】实数k为何值时，关于x的一元二次方程x(2k3)x(2k4)0． ⑴ 有两个正根？ ⑵ 两根异号，且正根的绝对值较大？ ⑶ 一根大于3，一根小于3？ 22

【易】已知关于x的方程x2(m2)xm50有两个实数根，并且这两个根 的平方和比这两个根的积大16，求m的值． 2

【易】已知x1、x2是一元二次方程4kx4kxk10的两个实数根． 3 ⑴ 是否存在实数k，使(2x1x2)(x12x2)成立？若存在，求出k的值；若不存 2 在，请说明理由． xx12 ⑵ 求使2的值为整数的实数k的整数值． xx21

【易】已知关于x 22 的一元二次方程x40xk与2x3xk0有一个相同的根，求 k的值． 10/38 越付出越富有，春卷们加油！ 222

【中】已知关于x的方程4x8nx3n2和xn3x2n20，是否存在这 样的n值，使第一个方程的两个实数根的差的平方等于第二个方程的一整数根？若存 在，请求出这样的n值；若不存在，请说明理由． 22

【中】已知方程xaxb0的根是a和c，方程xcxd0的根是b和d．其中， a、b、c、d为不同实数，求a、b、c、d的值． 22

【中】已知关于x的方程t1x2t1x10的两根倒数之和大于0，求t的取 值范围． 22

【难】已知方程ax40xb(a0)的两实根为x1、x2，方程ax30xb的两 实根为、． ⑴若a、b均为负整数，且||1，求a、b的值； ⑵若12，xx12，求证：21xx12． 11/38 越付出越富有，春卷们加油！ 四、 利用根系关系求代数式的值 2

【易】（2013湖北荆门中考）设x1，x2是方程xx20130的两个实数根，则 3 xx1220142013=（ ） 2

【中】（四川泸州市中考数学真题）设xx12，是方程xx330的两个实数根，则 xx21 的值为（ ） xx12

2【中】（天津市中考题）若关于x的一元二次方程2x2x3m10的两个实根为 x1、x2，且x1x2x1x24，则实数m的取值范围是（ ） 51551

【中】（2012年潜江市中考题）如果关于x2的一元二次方程x4xa0的两个不相 等实数根x1,x2满足x1x22x12xa250，那么的值为（ ）

【易】如果a 2 ，b都是质数，且a13am0，b13bm0，求的值． ab 2

【易】阅读材料：设一元二次方程axbxc0(a0)的两根是x1、x2，则根与系 bc22 数关系为：xx12，xx12．已知pp10，10qq，且pq1， aa pq1 求的值． q 2

【中】（苏省南通市中考数学试题）设x1、x2是一元二次方程xx430的两个根， 2 2x1x25x23a2，则a________． 12/38 越付出越富有，春卷们加油！

【中】（孝感市高中阶段学校招生考试数学） 22 已知关于x的一元二次方程x2k1xk2k0有两个实数根x1、x2． ⑴ 求实数k的取值范围； 22 ⑵ 是否存在实数k使得x1x2x1x2≥0成立？若存在，请求出k的值；若不存在， 请说明理由．

【中】（怀化市中考题） 2 已知xx12，是一元二次方程(a6)x2axa0的两个实数根． ⑴ 是否存在实数a，使x1x1x24xa2成立？若存在，求出的值；若不存在，请 说明理由． ⑵ 求使(x11)(x21)为负整数的实数a的整数值． 2

【难】（内江市中考题）已知方程xpxq0的两个根是x1,x2，那么x1x2p， x1x2q，请根据以上结论，解决下列问题： 2 ⑴ 已知关于x的方程xmxn0(n0)，求出一个一元二次方程，使它的两根分别 是已知方程两根的倒数； ba ⑵ 已知a、b 22 满足a15a50，b15b50，求的值； ab ⑶ 已知a、b均为实数，且abc0,abc16，求正数c的最小值． 2

【难】（“TRULY®信利杯”竞赛题）已知实数ab，且满足(a1)33(a1)， 2ba 3(b1)3(b1)，则ba的值为（ ） ab

【易】（北京市朝阳外国语学校2010-2011学年初二期中）一元二次方程 2 xpxq0，当p0且q0时方程（ ）

【中】（平谷区）已知一元二次方程x40xk有两个不相等的实数根， ⑴求k的取值范围； 22 ⑵如果k是符合条件的最大整数，且关于x的方程x40xk与xmx10有一 个相同的根，求此时m的值． 22

【难】试求满足方程xkx70与x6x(k1)0有公共根的所有的k值及所有 公共根和所有相异根． 222

【难】三个二次方程axbxc0，bxcxa0，cxaxb0有公共根． ⑴ 求证：abc0； 333 abc ⑵ 求的值． abc

【中】（南充市高中阶段教育学校招生考试数学试卷） 2 关于x的一元二次方程为m1x2mxm10． ⑴ 求出方程的根； ⑵ m为何整数时，此方程的两个根都为正整数？ 14/38 越付出越富有，春卷们加油！ 2

【难】已知关于x的方程(4k)(8k)x(8012k)x320的解都是整数，求整数k 的值． 1.根据参数范围求解 2

【中】设方程mx(m2)x(m3)0有整数解，试确定整数m的值，并求出这时 方程所有的整数解． 2222

【难】已知方程ax3a8ax2a13a150(a是非负整数)至少有一个整数根， 那么a________． 2.判别式为完全平方式

【中】（密云一模） 2 已知：xx1、x2分别为关于的一元二次方程mx2x2m0的两个实数根． ⑴设x1、x2均为两个不相等的非零整数根，求m的整数值； ⑵利用图象求关于m的方程x12xm10的解． 15/38 越付出越富有，春卷们加油！ 2

【中】（丰台）已知：关于x的方程kx2k3xk30． ⑴ 求证：方程总有实数根； 2 ⑵ 当k取哪些整数时，关于x的方程kx2k3xk30的两个实数根均为负整 数？

【中】（昌平一模） 2 已知关于x的方程k1x3k1x2k20． ⑴讨论此方程根的情况； ⑵若方程有两个整数根，求正整数k的值． 2 ⑶若抛物线yk1x3k1x2k2与x轴的两个交点之间的距离为3，求k的 值． 22

【难】若k为正整数，且关于k的方程(k1)x6(3k1)x720有两个相异正整数 根，求k的值． 3.判别式不是完全平方式

【难】（顺义一模） 2 已知关于x的方程k1x2kxk30． ⑴若方程有两个不相等的实数根，求k的取值范围； 2 ⑵当方程有两个相等的实数根时，求关于y的方程ya4kya10的整数根 （a为正整数）． 16/38 越付出越富有，春卷们加油！ 五、 有理根 2

【难】设k为整数，且k0，方程kxk1x10有有理根，求k的值 【一元二次方程的实际应用】 一、 增长率 二、 买涨价 三、 储蓄问题 四、 趣味问题 五、 图形面积 六、 数字乘积 一、 增长率

【中】(四川省绵阳市中考数学真题试题) “低碳生活，绿色出行”，自行车正逐渐成为人们喜爱的交通工具.某运动商城的自行车 销售量自2013年起逐月增加，据统计，该商城1月份销售自行车64辆，3月份销售 了100辆. ⑴ 若该商城前4个月的自行车销量的月平均增长率相同，问该商城4月份卖出多少辆 自行车？ ⑵ 考虑到自行车需求不断增加，该商城准备投入3万元再购进一批两种规格的自行车， 已知A型车的进价为500元/辆，售价为700元/辆，B型车进价为1000元/辆，售价为 1300元/辆.根据销售经验，A型车不少于B型车的2倍，但不超过B型车的2.8倍.假 设所进车辆全部售完，为使利润最大，该商城应如何进货？ 17/38 越付出越富有，春卷们加油！

【中】（浙江省初中毕业生学业考试（湖州市）） 随着人民生活水平的不断提高， 我市家庭轿车的拥有量逐年增加.据统计，某小区2006年底拥有家庭轿车64辆，2008 年底家庭轿车的拥有量达到100辆. ⑴若该小区2006年底到2009年底家庭轿车拥有量的年平均增长率都相同，求该小区 到2009年底家庭轿车将达到多少辆？ ⑵为了缓解停车矛盾，该小区决定投资15万元再建造若干个停车位.据测算，建造费用 分别为室内车位5000元/个，露天车位1000元/个，考虑到实际因素，计划露天车位的 数量不少于室内车位的2倍，但不超过室内车位的2.5倍，求该小区最多可建两种车位 各多少个？试写出所有可能的方案. 二、 买涨价

【易】某商店如果将进货价8元的商品按每件10元出售，每天可销售200件，现采用 提高售价，减少进货量的方法增加利润，已知这种商品每涨0.5元，其销售量就可以 减少10件，问应将售价定为多少时，才能使所赚利润最大，并求出最大利润

【易】益群精品店以每件21元的价格购进一批商品，该商品可以自行定价，若每件商 品售价a元，则可卖出（35010a）件，但物价局限定每件商品的利润不得超过20%， 商店计划要盈利400元，需要进货多少件？每件商品应定价多少？

【易】（淮安数学中考试题）小丽为校合唱队购买某种服装时，商店经理给出了如下 优惠条件，如果一次性购买不超过10件，单价为80元；如果一次性购买多于10件， 那么每增加1件，购买的所有服装的单价降低2元，但单价不得低于50元，按此优惠 条件，小丽一次性购买这种服装付了1200元，请问她购买了多少件这种服装？

【中】（绍兴市中考题）某公司投资新建了一商场，共有商铺30间，据预测，当每间 的年租金定为10万元时，可全部租出；每间的年租金每增加5000元，少租出商铺1 间，该公司要为租出的商铺每间每年交各种费用1万元，未租出去的商铺每间每年交 各种费用5000元． ⑴ 当每间商铺的年租金定为13万元时，能租出多少间？ ⑵ 当每间商铺的年租金定为多少万元时，该公司的年收益（收益=租金-各种费用）为 275万元？ 18/38 越付出越富有，春卷们加油！ 三、 储蓄问题

【易】王红梅同学将1000元压岁钱第一次按一年定期储蓄存入“少儿银行”，到期后将 本金和利息取出，并将其中的500元捐给“希望工程”，剩余的又全部按一年定期存入， 这时存款的年利率已下调到第一次存款时年利率的90%，这样到期后，可得本金和利 息共530元，求第一次存款时的年利率.（假设不计利息税） 四、 趣味问题

【易】一个醉汉拿着一根竹竿进城，横着怎么也拿不进去，量竹竿长比城门宽4米， 旁边一个醉汉嘲笑他，你没看城门高吗，竖着拿就可以进去啦，结果竖着比城门高2 米，二人没办法，只好请教聪明人，聪明人教他们二人沿着门的对角斜着拿，二人一 试，不多不少刚好进城，你知道竹竿有多长吗？

【易】 读诗词解题：（通过列方程式，算出周瑜去世时的年龄）. 大江东去浪淘尽，千古风流数人物； 而立之年督东吴，早逝英年两位数； 十位恰小个位三，个位平方与寿符； 哪位学子算得快，多少年华属周瑜？

【中】（襄阳市初中毕业生学业考试数学试题）有一人患了流感，经过两轮传染后共 有64人患了流感． ⑴求每轮传染中平均一个人传染了几个人？ ⑵如果不及时控制，第三轮将又有多少人被传染？ 五、 图形面积

【易】如图所示，某幼儿园有一道长为16米的墙，计划用32米长的围栏靠墙围成一 个面积为120平方米的矩形草坪ABCD．求该矩形草坪BC边的长． 19/38 越付出越富有，春卷们加油！

【易】用22厘米长的铁丝，折成一个面积为30平方厘米的长方形，求这个长方形的 长和宽。又问：能否折成面积是32平方厘米的长方形呢？为什么？ 六、 数字乘积

【易】（西南宁中考）某单位要组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式（每两队之间 都赛一场），计划安排10场比赛，则参加比赛的球队应有（ ）

【易】一容器装满20L纯酒精，第一次倒出若干升后，用水加满，第二次又倒出同样 升数的混合液，再用水加满，容器里只有5L的纯酒精，第一次倒出的酒精多少升？ （过程）

【易】如图所示，在△ABC中， C 90，AC＝6cm，BC＝8cm，点P从点A出发 沿边AC向点 C 以1cm/s的速度移动，点Q从 C 点出发沿CB边向点B以2cm/s的速 度移动. （1）如果PQ、同时出发，几秒钟后，可使△PCQ的面积为8平方厘米？ （2）点PQ、在移动过程中，是否存在某一时刻，使得△PCQ的面积等于△ABC的 面积的一半.若存在，求出运动的时间；若不存在，说明理由. 20/38 越付出越富有，春卷们加油！ 【可化为一元二次方程的其他方程】 一、 含参的二次方程 二、 含绝对值的二次方程 三、 高次方程 四、 分式方程 五、 根式方程 六、 与函数结合 一、 含参的二次方程 2

【中】（武汉市武珞路中学补课资料）解方程axbxc0 二、 含绝对值的二次方程

【中】（北京市朝阳外国语学校2010-2011学年初二期中）阅读下面的例题：请参照 2 例题解方程xx110 2 例：xx20 2 解：⑴当x≥0时，原方程化为xx20 解得x12，x21（不合题意，舍去） 2 ⑵当x0时，原方程化为xx20 解得x11（不合题意，舍去），x22 ∴原方程的根是x12，x22 2

【中】设方程xax4只有3个不相等的实数根，求a的值和相应的3个根． 三、 高次方程

【中】（黄石市2013年初中毕业生学业考试数学试题卷） 221 2xy 解方程：2．  2xy253 21/38 越付出越富有，春卷们加油！ 四、 分式方程 2 xx23

【易】方程0的根是____________. x1 2 3xm

【中】如果解方程2时会产生增根，则m的值等于（ ） x1

【易】判断下面的解分式方程过程是否正确？ 1234 解方程：． x4x3x2x1 22

【中】解方程xx12． xx 五、 根式方程

【易】若方程xk2有实数根，则k的取值范围为____________.

【易】若方程2xk2有实数根，则k的取值范围为____________.

【易】方程xx33的解是____________

【易】（武汉市武珞路中学补课资料）解方程xx4117

【易】已知方程222x3x62xx3x60，这个方程你会解吗?尝试一下换元法. 222 设x36xy，那么x36xy，把原方程的一部分用y来表示，再仔细观察 新方程(既含有y，又含有x)的特点，相信 你能找到解题的思路. 22/38 越付出越富有，春卷们加油！ 【各章节核心题系列——一元二次方程大总结110题】 【答案】 (如出现个别小错误积极与韩老师联系，辛苦！)