二次函数核心必会50题

【易】（虹口区第一学期初三年级数学学科）下列函数中，是二次函数的为（ ） 222

【中】m________，函数ym18xmx是二次函数． 二、 二次函数的图象 2

【易】函数yx1的图象大致为（ ） yy yy 1 1 OOOxOxxx -1-1 AB C D 2a

【易】（昭通）函数yaxa与ya0，在同一坐标系中的图象可能是（ ） x yyyy OxOxOxOx AB C D

【易】（南宁市初中毕业升学考试数学试卷）已知二次函数yax²bxcc0的图 像如图所示，下列说法错误的是：（ ）

【中】（十堰市初中毕业生学业考试数学试题）如图，二次函数yaxbxca0的 图象的顶点在第一象限，且过点01，和10， 2 ．下列结论：①ab0，②ba4， ③02abc，④01b，⑤当x1时，y0，其中正确结论的个数是（ ）

【易】（泰安市高中段学校招生考试）抛物线y2x8x1的顶点坐标为（ ）

【易】二次函数yx23x的顶点坐标为_______________，它与x轴的交点坐标为 ____________与y轴的交点坐标为________________． 2. 二次函数系数与图像的关系 2

【易】（河南省实验中学内部中考数学第一轮复习资料）二次函数yaxbxc（a0） 的图象如图所示，则下列结论： y Ox 2 ①a0； ②c0； ③ b40ac，其中正确的个数是（ ）

【易】（四川雅安中考）已知二次函数yaxbxc的图像如图，其对称轴x1， 2 给出下列结果①b4ac；②abc0；③20ab；④abc0； ⑤abc0，则正确的结论是（ ） y 321O1x

【易】（海淀区九年级上期末） 抛物线yaxbxc上部分点的横坐标x，纵坐标y的 对应值如下表： x … －2 －1 0 1 2 … y … 0 －4 －4 0 8 … ⑴根据上表填空： ①抛物线与x轴的交点坐标是 和 ； ②抛物线经过点 （3， ）； ③在对称轴右侧，y随x增大而 ； 2 ⑵试确定抛物线yaxbxc的解析式. 4. 二次函数的单调性 2

【易】（卢湾区九年级上期末）若点A23，y12，B，y是二次函数yx2(1)1图 像上的两点，则yy12，的大小关系是（ ）．

【中】（2011江苏省常州中考）已知二次函数yxx，当自变量x取m时对应 5 的值大于0，当自变量x分别取m1、m1时对应的函数值为y1、y2，则y1、y2必 须满足 （ ）

【易】（北京市西城区第一学期期末试卷）已知抛物线yx45x. ⑴直接写出它与x轴、y轴的交点的坐标； 22 ⑵用配方法将yx45x化成ya()xhk的形式． 五、 待定系数法求解析式

【易】（安徽省初中毕业学业考试数学）已知二次函数图像的顶点坐标为11，，且经 过原点（0，0），求该函数的解析式．

【易】已知一个二次函数过0，0，1，11，1，9三点，求二次函数的解析式． 2

【易】（北京市月坛中学初三年级第一学期数学期中试卷）若抛物线 yaxbxc过 3，0，1，0，且与y轴交点为04，，求二次函数的解析式. 4 / 46 越付出越富有，春卷们加油！ 平移 2

【易】（2011-2012学年朝阳区九年级第一学期期末统一考试）抛物线yx(2)1是 22 由抛物线yx平移得到的，下列对于抛物线yx的平移过程叙述正确的是（ ）

【中】（北京市东城区初三年级综合练习）已知抛物线 C 1：yx2x的图象如图所示， 把 C y1的图象沿轴翻折，得到抛物线 C 2的图象，抛物线 C 1与抛物线 C 2的图象合称图 象 C 3． y C 1 Ox A ⑴求抛物线 C 1的顶点A坐标，并画出抛物线 C 2的图象； 2 ⑵若直线ykxb与抛物线yaxbxc(a0)有且只有一个交点时，称直线与抛物 线相切．若直线yxb与抛物线 C 1相切，求b的值； ⑶结合图象回答，当直线yxb与图象 C 3有两个交点时，b的取值范围． 旋转

【易】（北京市第156中学初三期中）已知：抛物线 2 C A，1∶y=axbxc经过点10、B30，、 C 03，。 4 ⑴求抛物线 C 1的解析式； 3 2 ⑵将抛物线 C 1向左平移几个单位长度，可使所得的抛物线 C 2经1 -5-4-3-2-1O1234过坐标原点，并写出 C 2的解析式； 5 -1 -2 ⑶把抛物线 C 1绕点A10，旋转180，写出所得抛物线 C 3顶-3 点D的坐标。 -4 5 / 46 越付出越富有，春卷们加油！ 二次函数与方程不等式结合

【难】（西城二模）阅读下列材料：若关于x 2 的一元二次方程axbxc0a≠0的 bc 两个实数根分别为x1，x2，则xx12，xx12． aa 解决下列问题： abc，，2 已知：均为非零实数，且abc，关于x的一元二次方程axbxc0有 两个实数根，其中一根为2． ⑴填空：42abc___0，a___0，c___0；（填“”，“”或“=”） 2 ⑵利用阅读材料中的结论直接写出方程axbxc0的另一个实数根（用含ac，的 代数式表示）； ⑶若实数m 22 使代数式ambmc的值小于0，问：当xm5时，代数式axbxc 的值是否为正数？写出你的结论并说明理由． 2

【难】已二次函数y1x23x及一次函数y2xm． ⑴求该二次函数图象的顶点坐标以及它与x轴的交点坐标； ⑵将该二次函数图象在x轴下方的部分沿x轴翻折到x轴上方，图象的其余部分不变， 得到一个新图象，请你在图中画出这个新图象，并求出新图象与直线y2xm有三个 不同公共点时m的值： ⑶当02≤x≤时，函数yy12y(m2)x3的图象与x轴有两个不同公共点，求 m的取值范围． y Ox 6 / 46 越付出越富有，春卷们加油！

【易】张大爷要围成一个矩形花圃．花圃的一边利用足够长的墙另三边用总长为32米 的篱笆恰好围成．围成的花圃是如图所示的矩形ABCD．设AB边的长为x米．矩形 ABCD的面积为S平方米． ⑴求S与x之间的函数关系式（不要求写出自变量x的取值范围）． ⑵当x为何值时，S有最大值？并求出最大值． 2 2b4acb （参考公式：二次函数yaxbxc（a0），当x时，y最大（小）值=） 2a4a AD 花圃 B C

【中】（雅安市初中毕业暨高中阶段教育学校招生考试数学试卷）如图，已知抛物线 2 yaxbxc经过A（30，），B（10，）， C （03，）三点，其顶点为D，对称轴是直线l， l与x轴交于点H． （1）求该抛物线的解析式； （2）若点P是该抛物线对称轴l上的一个动点，求△PBC周长的最小值； （3）如图（2），若E是线段AD上的一个动点（E与AD、不重合），过E点作平行于 y轴的直线交抛物线于点F，交x轴于点 G ，设点E的横坐标为m，△ADF的面积为 S. ①求S与m的函数关系式； ②S是否存在最大值？若存在，求出最大值及此时点E的坐标；若不存在，请说明理由. y y DD F C C E AHOBxA G HOBx l l 图（2） 图（1） y y D DF C C E P AHOBxA G HOBx l 7 / 46 越付出越富有，春卷们加油！ 利用函数图象解方程和不等式 kk245

【易】（北京二中初三上质量检测）已知抛物线y(k2)x2x3有最高点，此 抛物线与直线y23xm其中一个交点的横坐标是2． ⑴ 抛物线y1和直线y2的解析式． ⑵ 抛物线y1最高点的坐标是_________． ⑶ 当x_________时，yx1随的增大而增大． ⑷ 当x_________时，y10 ⑸ 当x_________时，yy12 ⑹ 当03x时，y1的取值范围是____________ 最大利润问题

【易】（河南省实验中学内部中考数学第一轮复习资料）某商场购进一种单价为40元的 篮球，如果以单价50元售出，那么每月可售出500个．根据销售经验，售价每提高1元， 销售量相应减少10个． ⑴假设销售单价提高x元，那么销售每个篮球所获得的利润是___________元；这种篮 球每月的销售量是___________个．（用含x的代数式表示） ⑵当篮球的售价应定为______元时，每月销售这种篮球的最大利润，此时最大利润是 _______元． 实根分布问题 1

【中】已知二次函数yxaxbab，且x1、x2xx12是方程 2 1 xaxb0的两个根，则实数a、b、x1、x2的大小关系为（ ） 2

（特殊条件下的等腰三角形）（2011年淮安）如图．已知二次函数yxbx3的图 象与x轴的一个交点为A40，，与y轴交于点B． ⑴ 求此二次函数关系式和点B的坐标； ⑵ 在x轴的正半轴上是否存在点P．使得△PAB是以AB为底边的等腰三角形？若存 在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． y B A Ox

（等腰三角形点的存在性问题）（临沂市中考题）如图，点A在x轴上，OA4，将线 段OA绕点O顺时针旋转120°至OB的位置； （1）求点B的坐标； （2）求经过点A、O、B的抛物线的解析式； （3）在此抛物线的对称轴上，是否存在点P，使得以点P、O、B为顶点的三角形使等 腰三角形？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由. y l Ox M A P N （第3题） 二次函数与直角三角形

【难】（在特殊条件下存在点问题直角三角形）（九年级第一次质量预测）如图，经过x 2 轴上A10，、B30，两点的抛物线yaxbxca0交y轴的正半轴于点 C ， 设抛物线的顶点为D． (1)用含a的代数式表示出点 C 、D的坐标 (2)若么BCD90，请确定抛物线的解析式； (3)在(2)的条件下，能否在抛物线上找到另外的点Q，使△BDQ为直角三角形?如果 能，请求出Q点坐标；如果不能，请说明理由． y D C A O B x 9 / 46 越付出越富有，春卷们加油！ 二次函数与等腰直角三角形

【中】（二次函数与等腰直角三角形）（东城二模）在平面直角坐标系中，现将一块等腰 直角三角板ABC放在第二象限，斜靠在两坐标轴上，且点A（02，），点 C （10，），如图 2 所示，抛物线yaxax2经过点B． ⑴求点B的坐标； ⑵求抛物线的解析式； ⑶在抛物线上是否还存在点P（点B除外），使△ACP仍然是以AC为直角边的等腰 直角三角形？若存在，求所有点P的坐标；若不存在，请说明理由． y A(0,2) B C (-1,0)Ox 二次函数与相似三角形

【中】（相似）（上海市初中毕业生统一学业数学考试试卷）如图，在平面直角坐标系xoy 2 中，顶点为M的抛物线yaxbxa0经过点A和x轴正半轴上的点B， AOOB2，AOB120． （1）求这条抛物线的表达式； （2）联结OM，求AOM的大小； （3）如果点 C 在x轴上，且△ABC与△AOM相似，求点 C 的坐标． 10 / 46 越付出越富有，春卷们加油！ 2

【难】（相似+面积）（莱芜市中考题）如图，抛物线yaxbxc的顶点坐标为（2， -1），并且与y轴交于点 C (0，3)，与x轴交于两点A、B. （1）求抛物线的解析式； （2）设抛物线的对称轴与直线B、 C 交于点D，连接AC、AD，求ACD的面积； （3）点E是直线BC上一动点，过点E作y轴的平行线EF，与抛物线交于点F。 问是否存在点E，使得以D、E、F为顶点的三角形与BCO相似？若存在，求出E 点的坐标；若不存在，请说明理由 y C E D OFAxB 二次函数与平行四边形 2

【易】（平行四边形）（南昌中考）如图所示，抛物线m：yaxb（a0，b0） 与x轴交于点A、B（点A在点B的左侧），与y轴交于点 C ．将抛物线m绕点B旋转180， 得到新的抛物线n，它的顶点为 C 1，与x轴的另一个交点为A1． ⑴ 当a1，b1时，求抛物线n的解析式； ⑵ 四边形AC11AC是什么特殊四边形，请写出结果并说明理由； ⑶ 若四边形AC11AC为矩形，请求出a，b应满足的关系式． y C AOBA1x C 1 11 / 46 越付出越富有，春卷们加油！ 二次函数与正方形 172

【中】（平行四边形+正方形）（湖南衡阳）已知抛物线yxmx2m． 22 ⑴ 试说明：无论m为何实数，该抛物线与x轴总有两个不同的交点； ⑵ 如图，当该抛物线的对称轴为直线x3时，抛物线的顶点为点 C ，直线yx1与 抛物线交于A、B两点，并与它的对称轴交于点D． ①抛物线上是否存在一点P使得四边形ACPD是正方形？若存在，求出点P的坐标； 若不存在，说明理由； ②平移直线CD，交直线AB于点M，交抛物线于点N，通过怎样的平移能使得 C 、D、M、 N为顶点的四边形是平行四边形． y B D OAx C 二次函数与矩形 2

【中】（矩形+平移）（江西）将抛物线沿Cx1:33沿x轴翻折，得抛物线 C 2，如 图所示． ⑴ 请直接写出抛物线 C 2的表达式； ⑵ 现将抛物线 C mx1向左平移个单位长度，平移后得到的新抛物线的顶点为M，与 轴的交点从左到右依次为A，B；将抛物线 C m2向右也平移个单位长度，平移后得 到的新抛物线的顶点为N，与x轴交点从左到右依次为D，E． ①当B，D是线段AE的三等分点时，求m的值； ②在平移过程中，是否存在以点A，N，E，M为顶点的四边形是矩形的情形？若 存在，请求出此时m的值；若不存在，请说明理由 yy C 2 OxOx C 1 备用图 12 / 46 越付出越富有，春卷们加油！ 二次函数与菱形 3

【易】（菱形+平移）（北京市宣武区第二学期第一次质量检测）已知：将函数yx的 3 图象向上平移2个单位，得到一个新的函数的图像． ⑴ 求这个新的函数的解析式； ⑵ 若平移前后的这两个函数图象分别与y轴交于O、A两点，与直线x3交于 C 、 B两点．试判断以A、B、 C 、O四点为顶点的四边形形状，并说明理由； 221 ⑶ 若⑵中的四边形（不包括边界）始终覆盖着二次函数yx2bxb的图象的 2 一部分，求满足条件的实数b的取值范围． y Ox 二次函数与梯形

【中】（梯形+轴对称）如图，在平面直角坐标系中，已知点A24，，OB2，抛 2 物线yaxbxc经过点A，O，B三点． ⑴ 求抛物线的函数表达式； ⑵ 若点M是抛物线线对称轴上一点，试求AMOM的最小值； ⑶ 在此抛物线上，是否存在点P，使得点P与点O，A，B为顶点的四边形是梯形？ 若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由． y B Ox A 二次函数与三角形面积，求点的坐标

【易】（延庆一模） 2 如图，已知平面直角坐标系xOy，抛物线yxbxc过点A(4，0)、B13，. ⑴求该抛物线的解析式，并写出该抛物线的对称轴和顶点坐标； ⑵记该抛物线的对称轴为直线l，设抛物线上的点Pm，n在第四象限，点P关于直 线l的对称点为E，点E关于y轴的对称点为F，若四边形OAPF的面积为20，求m、 n的值. y 1 O1x 13 / 46 越付出越富有，春卷们加油！ 存在相等面积

【易】（上海闵行区九年级下质量调研） 2 如图，已知：抛物线yxbx3与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点 C ，并 且OAOC. ⑴求这条抛物线的解析式； ⑵过点 C 作CE∥x轴，交抛物线于点E，设抛物线的顶点为点D，试判断△CDE的 形状，并说明理由； ⑶设点M在抛物线的对称轴l上，且△MCD的面积等于△CDE的面积，请写出点M 的坐标（无需写出解题步骤）． y l AOBx E C D 存在面积的比值为几 12

【中】如图，在平面直角坐标系中，直线yx1与抛物线yaxbx3交于点 2 A，B两点，点A在x轴上，点B的纵坐标为3，点P是直线AB下方的抛物线上的 一动点（不与点A，B重合），过点P作x轴的垂线交直线AB于点 C ，作PDAB 于点D。 ⑴ 求a，b及sinACP的值。 （2） 设点P的横坐标为m。 ①用m的代数式表示线段PD的长，并求出线段PD长的最大值； ②连接PB，线段PC把PDB分成两个三角形，是否存在合适的m值，使这两个三角 形的面积之比为9:10？若存在，直接写出m的值；若不存在，说明理由。 y G D C B F x AO P 14 / 46 越付出越富有，春卷们加油！ 存在面积的最值问题

【难】广东省清远市初中毕业生学业考试中考数学试题 2 如图，抛物线yx1k与x轴交于A、B两点，与y轴交于点 C 03，． ⑴求抛物线的对称轴及k的值； ⑵抛物线的对称轴上存在一点P，使得PAPC的值最小，求此时点P的坐标； ⑶点M是抛物线上一动点，且在第三象限． ① 当M点运动到何处时，△AMB的面积最大？求出△AMB的最大面积及此时点M 的坐标； ② 当M点运动到何处时，四边形AMCB的面积最大？求出四边形AMCB的最大面积 及此时点M的坐标． y ABx C 点到点、点到线的距离问题

【难】(点到直线距离+点到点的距离)（广西玉林市中考数学试卷）已知抛物线 2 yax2ax3a (a0)与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点 C ， 点D为抛物线的顶点． ⑴ 求A、B的坐标； ⑵ 过点D作DH⊥y轴于点H，若DHHC，求a的值和直线CD的解析式； ⑶ 在第⑵小题的条件下，直线CD与x轴交于点E，过线段OB的中点N作NF⊥x轴， 并交直线CD于点F，则直线NF上是否存在点M，使得点M到直线CD的距离等于 点M到原点O的距离？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． y DF H C E x AONB 15 / 46 越付出越富有，春卷们加油！ 线段和差最值及周长最值问题 22

【中】（线段和最短）（广东省中考数学试卷）已知二次函数yx21mxm． ⑴ 当二次函数的图象经过坐标原点O00，时，求二次函数的解析式； ⑵ 如图，当m2时，该抛物线与y轴交于点 C ，顶点为D，求 C 、D两点的坐标； ⑶ 在⑵的条件下，x轴上是否存在一点P，使得PCPD最短？若P点存在，求出P 点的坐标；若P点不存在，请说明理由． y C Ox D 点动

【中】（衡阳市初中毕业学业水平考试数学试卷）如图，已知抛物线经过A10，， B03，两点，对称轴是x1． ⑴ 求抛物线对应的函数关系式； ⑵ 动点Q从点O出发，以每秒1个单位长度的速度在线段OA上运动，同时动点M从 O点出发以每秒3个单位长度的速度在线段OB上运动，过点Q作x轴的垂线交线段 AB于点N，交抛物线于点P，设运动的时间为t秒． ①当t为何值时，四边形OMPQ为矩形； ②△AON能否为等腰三角形？若能，求出t的值；若不能，请说明理由． y B(0,3) P N M A OQ(1,0）x 16 / 46 越付出越富有，春卷们加油！ 线动

【中】（广西玉林）如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形AOCD的顶点A的坐标是（0,4）， 现有两动点P、Q，点P从点O出发沿线段OC（不包括端点O， C ）以每秒2个单位长度 的速度，匀速向点 C 运动，点Q从点 C 出发沿线段CD（不包括端点 C ，D）以每秒1个 单位长度的速度匀速向点D运动.点P，Q同时出发，同时停止，设运动时间为t秒，当 t2秒时PQ25. ⑴求点D的坐标，并直接写出t的取值范围； ⑵连接AQ并延长交x轴于点E,把AE沿AD翻折交CD延长线于点F,连接EF，则 △AEF的面积S是否随t的变化而变化？若变化，求出S与t的函数关系式；若不变 化，求出S的值. ⑶在⑵的条件下，t为何值时，四边形APQF是梯形？ F y D A Q OP C Ex 形动

【中】（河南省中考）【面积+形动】 3312 如图，在平面直角坐标系中，直线yx与抛物线yxbxc交于A、B两点， 424 点A在x轴上，点B的横坐标为－8. ⑴求该抛物线的解析式； ⑵点P是直线AB上方的抛物线上一动点（不与点A、B重合），过点P作x轴的垂线， 垂足为 C ，交直线AB于点D，作PEAB于点E. ①设△PDE的周长为l，点P的横坐标为x，求l关于x的函数关系式，并求出l的最大 值； ②连接PA，以PA为边作图示一侧的正方形APFG.随着点P的运动，正方形的大小、位 置也随之改变.当顶点F或 G 恰好落在y轴上时，直接写出对应的点P的坐标. y y P A A Ox C Ox E D F G B B 备用图 17 / 46 越付出越富有，春卷们加油！ 角的三角函数值

【易】（奉贤区调研测试）如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，已知点A的 坐标为22，，点B、 C 在y轴上，BC8，ABAC，直线AB与x轴相交于点D， ⑴ 求 C 、D的坐标； ⑵ 求经过A、 C 、D三点的二次函数解析式； ⑶ 求CAD的正弦 y B A O D x C 求角的度数 2

【易】（顺义一模）已知：如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线yax(123)xc 经过A（2,0），Bn（1,）， C （02，）三点． ⑴求抛物线的解析式； y ⑵求线段BC的长； B ⑶求OAB的度数． C OAx 存在特殊角度 2

【中】（武汉）如图，抛物线yaxbx4a经过A10，、 C 04，两点，与x轴交 于另一点B． ⑴求抛物线的解析式； ⑵已知点Dm，m1在第一象限的抛物线上，求点D关于直线BC对称的点的坐标； ⑶在⑵的条件下，连接BD，点P为抛物线上一点，且DBP45，求点P的坐标． y C A B x O 18 / 46 越付出越富有，春卷们加油！ 【各章节必会题型——二次函数50道核心题（一）】 【答案】 (如出现个别小错误积极与韩老师联系，辛苦！) 【经典例题精炼——51道核心题】 一、 二次函数的定义