全等三角形含辅助线技巧67题

【易】（十三中期中）下列说法中正确的是（ ）

【易】（苏州市第二学期期末试卷初一数学）如图，与左边正方形图案属于全等的图案 是（ ）

【易】已知△DEF≌△ABC，ABAC，且△ABC的周长为23cm，BC4cm，则 △DEF的边DE等于________． 8. 全等三角形的对应角相等

【易】（北京海淀期末）如图，△ABC≌△DEF，DF和AC，FE和CB是对应边．若 A100，F47，则DEF等于（ ）

【中】（深圳中学初一期末）如图，OM、ON是互相垂直的两条射线，A、B分别是 射线OM、ON上的动点，分别作△ABO外角的平分线AP、BP交于点P． ⑴ 如图1，求P的度数． ⑵ 在图2中作ABO的平分线，交PA的延长线于点Q，直接写出Q的度数． 2/46 ⑶ 如图3，过B作BC⊥AP，垂足为 C ，判断是否存在某种情况，使得△AOB与△BCA 全等，若存在，请求出ABO的度数，若不存在，请说明理由． MM M PPP C A A A Q OBNOBNOBN 图1图2图3 9. 其他

【易】（北京十三中期中）△ABC≌△DEF，△ABC的面积是12，DMEF，DM6， EF________．

【易】下面命题中，不正确的命题是（ ）

【易】（北京二中期中）课本画AOB的角平分线的方法步骤是： ①以O为圆心，适当长为半径作弧，交OA于M点，交OB于N点； 1 ②分别以M、N为圆心，大于MN的长为半径作弧，两弧在AOB的内部相交于点 C ； 2 ③连接射线OC．射线OC就是AOB的角平分线． 请你说明这样作角平分线的根据是（ ） A M C O NB

【易】（北京东城六校期中）如图，在△ABC和△DEF中，B、E、 C 、F在同一直 线上，下面有四个条件，请你从中选三个作为题设，余下的一个作为结论，写出一个正 确的命题，并加以证明． ①ABDE，②ACDF，③ABCDEF，④BECF． 3/46 AD BE C F 已知：在△ABC和△DEF，如果________， 求证：________．（只填序号） 证明： 11. 边角边

【易】（深圳实验中学初一下）如图，已知ABAD，ACAE，12． 求证：△ABC≌△ADE． A 1 2 B E D C 12. 角边角

【易】（2010初一期末）小明不慎将一块三角形的玻璃摔碎成如图所示的四块（即图中 标有1、2、3、4的四块），你认为将其中的哪一块带去，就能配一块与原来一样大小的 三角形？应该带（ ）

【易】（北京二中期中）如图，ABAC，BEAC于E，CFAB于F，BE、CF交 于点D，则下列结论中不正确的是（ ） A FE D B C

【易】（北京西城区期末）如图，用三角尺可按下面方法画角平分线：在已知的AOB 的两边上分别取点M、N，使OMON，再分别过点M、N作OA、OB的垂线，交 点为P，画射线OP．可证得△POM≌△PON，OP平分AOB．以上依画法证明 △POM≌△PON根据的是（ ）

【易】（北京东城六校期中）下列命题中正确的是（ ） ①全等三角形对应边相等；②三个角对应相等的两个三角形全等； ③三边对应相等的两个三角形全等；④有两边对应相等的两个三角形全等．

【易】（实验学校初一下期末）下列说法正确的有（ ）个 ①两个角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等； ②两条边和其中一边的对角对应相等的两个三角形全等； ③三个角对应相等的两个三角形全等； ④成轴对称的两个图形全等； ⑤三角形的最大角不小于60度．

【易】如图，已知BCDE，BEDC，小明是这样想的，请你给小明的每个想法填 上依据，连接BD，在△BCD和△DEB中， A B E C D 5/46 BCDE已知  ∵BEDC已知  BDDB ∴△BCD≌△DEB（ ） ∴CBDEDB（ ） ∴CB∥ED（ ） ∴AADE（ ）

【中】（昌平区第一学期初二年级期末考试）如图，点E是等边三角形ABC内一点，且 EAEB，△ABC外一点D满足BDAC，BE平分DBC，求BDE的度数． A D E B C

【中】（青海省初中考试）请阅读，完成证明和填空． 九年级数学兴趣小组在学校的“数学长廊”中兴奋地展示了他们小组探究发现的结果，内 容如下： AADA M N MOBOE MO B C BN C C D 图1图2图3 ⑴ 如图1，正三角形ABC中，在AB、AC边上分别取点M、N，使BMAN，连 接BN、CM，发现BNCM，且NOC60． 请证明：NOC60． ⑵ 如图2，正方形ABCD中，在AB、BC边上分别取点M、N，使AMBN，连接 AN、DM，那么AN________，且DON________． ⑶ 如图3，正五边形ABCDE中，在AB、BC边上分别取点M、N，使AMBN， 连接AN、EM，那么AN=________，且EON________． ⑷ 在正n边形中，对相邻的三边实施同样的操作过程，也会有类似的结论．请大胆猜 测，用一句话概括你的发现： 6/46

【中】（永州市2013年初中毕业学业考试试卷数学试题卷）如图，M是△ABC的边BC 的中点，AN平分BAC，BN⊥AN于点N，延长BN交AC于点D，连接MN，已 知AB10，BC15，MN3 A 2 1 D N BM C ⑴ 求证：BNDN ⑵ 求△ABC的周长.

【中】（海口市中考题）在△ABC中，ACB90,ACBC，直线MN经过 C 点， 且ADMN于D，BEMN于E． ⑴ 当直线MN绕点 C 旋转到图①的位置时，求证：DEADBE； ⑵ 当直线MN绕点 C 旋转到图②的位置时，求证：DEADBE； ⑶ 当直线MN绕点 C 旋转到图③的位置时，试问：DE、AD、BE有怎样的等量关系？ 请写出这个等量关系，并加以证明． 7/46

【难】（东营）⑴如图⑴，已知：在△ABC中，BAC90，ABAC，直线m经过 点A，BD直线m，CE直线m，垂足分别为点DE、．证明:DEBDCE． ⑵ 如图⑵，将⑴中的条件改为：在△ABC中，ABAC，D、A、E三点都在直线m上， 并且有BDAAECBAC，其中为任意锐角或钝角．请问结论 DEBDCE是否成立?如成立，请你给出证明;若不成立，请说明理由． ⑶ 拓展与应用：如图⑶，DE、是D、A、E三点所在直线m上的两动点（D、A、E三 点互不重合），点F为BAC平分线上的一点，且△ABF和△ACF均为等边三角形， 连接BD、CE，若BDAAECBAC，试判断△DEF的形状． F C C B B C B D A E m D A E m D A E m 图（2） 图（3） 图（1）

【难】（八年级数学期中试题）如图，在△ABC中，BABC，D在边CB上，且 DBDAAC. ⑴ 如图1，B______°， C _______°； ⑵ 如图2，M为线段BC上一动点，过M作直线MHAD于H，分别交直线AB、AC 于点NE、，请写出BN、CE、CD之间的数量关系，并证明； CD ⑶ 当M是BC中点时，在⑵的条件下，的值是__________.（不需证明） CE A A N D C BM BHD C E 图1 图2 8/46 巧添辅助线 全等三角形中的基本图形的构造与运用 1. 倍长中线 2. 截长补短 3. 三垂直模型 1. 倍长中线

【易】（通化市中考题）在△ABC中，AB5,AC9，则BC边上的中线AD的长的取 值范围是多少？

【易】（2011南山实验学校荔林初一下期中23）如图，已知AD为△ABC中BC边的中 线，CE∥AB交AD的延长线于E． A B C D E

【易】如图，△ABC中，ABAC，AD是中线．求证：DACDAB． A BD C

【易】已知：△ABC中，ACAB，AM是中线． 11 求证：ACABAM()ABAC． 22 A BM C 9/46

【易】已知△ABC中，ABAC，CE是AB边上的中线，延长AB到D，使BDAB．求 证：CD2CE． C AEBD

【中】如图，在ABC中，AD交BC于点D，点E是BC中点，EF∥AD交CA的延 长线于点F，交EF于点 G ，若BGCF，求证：AD为ABC的角平分线． F A G B ED C

【中】如图，△ABC中，AB4，AC7，M是BC的中点，AD平分BAC，过M 作FM∥AD交AC于F，求FC的长． A F B C DM 10/46

【中】如图所示，在ABC中，D是BC的中点，DM垂直于DN，如果 22222122 BMCNDMDN，求证ADABAC． 4 A M N BD C 2. 截长补短

【易】如图，在△ABC中，BC2，ADBC于D，求证：CDBDAB． A C BD

【易】如图，等腰△ABC中，ABAC，A100，ABC的角平分线交AC于D， 求证：ADBDBC． A D B C 11/46

【易】如图，四边形ABCD的对角线AC、BD交于点P，过点P作直线交AD于点E， 交BC于点F．若PEPF，且APAECPCF，求证：PAPC． D C F E P AB

【易】如图，在正方形ABCD中，F是CD的中点，E是BC边上的一点，且AF平分 DAE，求证：AEECCD． AD F BE C

【中】（重庆市巴蜀中学第二学期半期考试初2015级数学试题卷） 在△ABC中，ACB2B ⑴ 如图①，当 C 90，AD为BAC的角平分线时，线段AB、AC、CD之间的数 量关系为__________（直接写出结论，无需证明） ⑵ 如图②，当 C 90，AD为BAC的角平分线时，线段AB、AC、CD有怎样的 数量关系？请写出你的猜想，并对你的猜想给予证明 ⑶ 如图③，当AD为△ABC的外角平分线时，线段AB、AC、CD又有怎样的数量关 系？请写出你的猜想，并对你的猜想给予证明 A A F A B C D BD C B C D 图① 图②图③ 12/46

【中】已知△ABC中，BAC60，ABC80，AB，的平分线交BC，CA于 PQ，．求证：ABBPAQBQ． B P A C Q

【中】已知等边△ABC，分别延长BA到E，BC到D，使AEBD．求证：ECED． E A B C D

【中】如图，已知∠BAD∠DAC9，ADAE，且ABACBE，求∠B． A BD C E 13/46

【难】已知：如图，△ABC中ABAC，D是△ABC外一点且ABDACD60°． 求证：BDCDAB． A D B C 3. 三垂直模型

【易】（北京十一中期中）如图，DCE90，CDCE，ADAC，BEAC垂足 分别是A、B ⑴ 求证△ADC≌△BCE ⑵ 若AD4，AB3，则BE________ E A B D C

【易】如图，已知矩形ABCD中，E是AD上的一点，F是AB上的一点，EFEC， 且EFEC，DE4cm，矩形ABCD的周长为32cm，求AE的长． AED F B C 14/46

【易】如图，已知Rt△ABC中ACB90°，ACBC，D是BC的中点，CEAD， 垂足为E．BF∥AC，交CE的延长线于点F．求证：AC2BF． C D E AB F

【易】如图，等腰直角△ABC中，ABBC，ABC90，O为AC中点，点E、F 分别在OC、OB的延长线上，OEOF，求证：AFBE且AFBE． A O C B E F

【易】已知：如图，△ABC中，ABAC，BAC90°，D是BC的中点，AFBE 于 G ．求证：DHDF A E H G B C DF 15/46

【中】（北京门头沟期末）在△ABC中，ACB90，ACBC，直线MN经过点 C ， 且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E． ⑴ 当MN绕点 C 旋转到图1的位置时，请你探究线段DE、AD、BE之间的数量关系 （直接写出结论，不要求写出证明过程）； ⑵ 当MN绕点 C 旋转到图2的位置时，你在⑴ 中得到的结论是否发生变化？请写出 你的猜想，并加以证明； ⑶ 当MN绕点 C 旋转到图3的位置时，你在⑴ 中得到的结论是否发生变化？请写出 你的猜想，并加以证明． N AAA D N MEE D B C D C B C B E 图1NM图2 M图3 巧添辅助线 一、 角平分线的性质定理 二、 角平分线的判定定理 三、 与角平分线有关的辅助线模型 1. 角平分线+垂线 2. 角平分线+平行线 3. 角分线分两边 一、 角平分线的性质定理

【易】（初二上题型训练一）如图，在Rt△ABC中， C 90，A、B的平分线交 于点I，IDAB于D．若AB5，AC3，BC4，则ID________． C I BAD 16/46

【易】（十三分全等章测试）如图，△ABC中， C 90°，ED∥AB，12，若 CD1.3cm，则D点到AB边的距离是________． C D E 2 1 AB

【易】（北京三帆期中）如图，OC是AOB的平分线，P是OC上一点，PDOA于D， ODOE，有如下结论：①PEOB；②PDPE；③PO平分DPE；④△ODE是 等边三角形；⑤OC垂直平分DE．其中正确的有（ ） A D C P OB E

【易】（北京朝阳区期末）如图，ADBC，DFCA，CD，AD交BC于点H， AEBC于点E，点F在BC上， ⑴ 若AN是△AEC的角平分线，求证S△AEN::S△ACNAEAC； ⑵ 当B112时，求B的度数． A 1 B C HENF D 17/46

【中】（昌平二模） ⑴ 如图1，BP为△ABC的角平分线，PMAB于M，PNBC于N，AB30， BC23，请补全图形，并求△ABP与△BPC的面积的比值； ⑵ 如图2，分别以△ABC的边AB、AC为边向外作等边三角形ABD和等边三角形 ACE，CD与BE相交于点O，判断AOD与AOE的数量关系，并证明； ⑶ 在四边形ABCD中，已知BCDC，且ABAD，对角线AC平分BAD，请直接 写出B和D的数量关系． E AA P MD O B C B C 图1图2

【中】（西城外国语初二期中27）如图，在△ABC中，AD平分BAC，DGBC， 且平分BC于 G ，DEAB于E，DFAC延长线于F． ⑴求证：BECF ⑵如果ABa，ACb，求AE、BE的大小．（用含有a、b的式子表示） A E G B C F D 18/46 二、 角平分线的判定定理

【易】（十三分全等章测试）如图，△ABC的两个外角的平分线相交于点P，则下列结 论正确的是（ ） A P B C

【易】（十三分八年级上全等三角形）如图：在△ABC中，O是ABC与ACB的平 分线的交点，求证：点O在A的平分线上． C O AB

【中】（武珞路中学上学期八年级数学期中测试卷）如图所示，I是△ABC三内角平分 线的交点，IEBC于E，AI延长线交BC于D，CI的延长线交AB于F，下列结论： 11 ①BIECID；②S△ABCIEABBCAC；③BEABBCAC；④ 22 ACAFDC，其中正确的结论是（ ） A F I B C ED

【中】（北京北师附中期中）已知：如图，△ABC的高线BE和角平分线CF相交于点O， OD垂直平分线段BC，并且OEOF．请判断△ABC的形状，并证明你的结论． 答：△ABC的形状是________． 19/46 A FEO BD C 三、 与角平分线有关的辅助线模型 4. 角平分线+垂线

【易】（北京三帆期中）已知：如图⑴，BD、CE分别是△ABC的外角平分线，过点A 作AFBD，AGCE，垂足分别为F、 G ，连结FG，延长AF、AG，与直线BC 1 相交，易证：FG()ABBCAC． 2 若⑴ BD、CE分别是△ABC的内角平分线（如图⑵）； ⑵ BD为△ABC的内角平分线，CE为△ABC的外角平分线（如图⑶）， 则在图⑵、图⑶两种情况下，线段FG与△ABC三边又有怎样的数量关系？请写出你 的猜想，并对其中的一种情况给予证明． AA DAEE D G DE F G F G F B C C （1）BB C （2）（3） 猜想：图⑵中________________________________；图⑶中 ________________________________ 证明：如图（________），

【中】在中，MB、NC分别是三角形的内角ABC、ACB的角平分线，AMBM， 1 ANCN垂足分别是M、N．求证：MN∥BC，MNABACBC 2 A NM E FB C 20/46

【易】（人大附中期中）如图，在△ABC中，M是BC中点，AN平分BAC，BN⊥AN．若 7 AB12，MN，则AC的长为． 2 A N B M C

【中】（2010年北京北师大附中期末练习）如图，锐角三角形△ABC中，ABC2 C ， BE平分ABC，交AC于E，ADBE于D，求证：AC2BD． A E D B C

【中】（深圳外国语分校初一下期末）如图，ACBC，ACB90，AE平分BAC， BF⊥AE，交AC延长线于F，且垂足为E，则下列结论：①ADBF；②BFAF； ③ACCDAB；④ABBF；⑤AD2BE．其中正确的结论有（ ）

【中】如图所示，在△ABC中，ABC3 C ，AD是BAC的平分线，BEAD于E．求 1 证：BEACAB 2 A E B C D 21/46 5. 角平分线+平行线

【易】（北京市西城区（南区）2011-2012学年度第一学期期末）已知：如图，AD平分 BAC，M是BC的中点，MF∥AD交CA的延长线于F．求证： 1 BECFABAC． 2 6. 角分线分两边

【易】（23届希望杯初二）如图，已知△ABC中，AD平分BAC， C 20°， ABBDAC，则B的度数是________． A B C D 1

【易】（重庆南开中学初一下期中）如图，△ABC中，ACAB，AD平分BAC， 2 且ADBD，求证：CDAC． A C BD 22/46

【中】如图所示，在ABC中，AD是BAC的平分线，M是BC的中点，MEAD且 1 交AC的延长线于E，CECD，求证ACB2B． 2 A C D E M B

【中】在△ABC中，点D，E在边BC上，CAEB，E是CD的中点，且AD平 分BAE． ⑴如图1，当BAC90°时，求证：BDAC； ⑵如图2，当BAC90°时，是否还有BDAC成立，说明理由．

【中】如图所示，△ABC是边长为1的正三角形，BDC是顶角为120的等腰三角形， 以D为顶点作一个60的MDN，点M、N分别在AB、AC上，求△AMN的周长． A N M D B C 23/46 【答案】 第二部分：经典例题 一、 全等的定义