计算（直接写出答案）
$(1)2a^{2}\times 3a^{3}=$______；
$(2)8x^{2}y^{6}\div (-2xy^{2})^{2}=$______；
$(3)\left(2-3x\right)\left(3x+2\right)=$______；
$(4)(4x^{2}y^{2}+8x^{2}y-2xy)\div \left(-2xy\right)=$______；
$(5)\frac{2025}{2025^2-2024×2026}=$______；
$(6)\left(a+2b-c\right)^{2}= \_\_\_\_\_\_.$

因式分解（直接写出答案）
$(1)9b^{2}-\left(a+1\right)^{2}= \_\_\_\_\_\_.$
$(2)16x^{2}+1-8x= \_\_\_\_\_\_.$
$(3)x^{3}-5x^{2}-6x= \_\_\_\_\_\_.$
$(4)x^{2}-y^{2}-1+2y= \_\_\_\_\_\_.$

在横线上填入适当的整式:
$(1)(-3x^{2}+2y^{2})($______$)=9x^{4}-4y^{4}$；
$(2)a^{2}+3ab+b^{2}+\_\_\_\_\_\_=\left(a-b\right)^{2}$.

当$x$满足条件______时,分式$\frac{x^2-16}{2x-8}$有意义.

已知$x^{m}=9^{-4}$,$x^{n}=3^{-2}$,则计算式子$x^{m-3n}$的值为______.

已知$\left(2024-a\right)\left(2022-a\right)=2023$,则$\left(2024-a\right)^{2}+\left(a-2022\right)^{2}= \_\_\_\_\_\_.$

按照如图所示的程序计算,若输出$y$的值是$2$,则输入$x$的值是____.

已知$a$、$b$、$c$满足$a^{2}+2b=7$,$b^{2}-2c=-1$,$c^{2}-6a=-17$,则$a+b+c=$____.

若$a$,$b$为有理数且满足$ab-a-b-5=0$,$S=2a^{2}+3ab+b^{2}+5a-b$,则$S$的最小值为______.

下列各式从左到右的变形,是因式分解的是（　　）

一质点$P$从距原点$8$个单位的$M$点处向原点方向跳动,第一次跳动到$OM$的中点$M_{1}$处,第二次从$M_{1}$跳到$OM_{1}$的中点$M_{2}$处,第三次从点$M_{2}$跳到$OM_{2}$的中点$M_{3}$处,如此不断跳动下去,则第$2024$次跳动后,该质点到原点$O$的距离为（ ）

计算:
$(1)16(2a+1)(2a-1)(a^4+\frac{1}{16})(4a^2+1)$；
$(2)\frac{x^{-1}-3y^{-1}}{x^{-2}-x^{-1}y^{-1}-6y^{-2}}$.

因式分解:
$(1)2ax^{2}-18a^{3}$；
$(2)6x^{2}-7x-5$；
$(3)x^{3}-xyz+x^{2}y-x^{2}z$；
$(4)(x^{2}-3x+1)^{2}-6x^{2}+18x-1$.

解方程:
$(1)\frac{x}{x-2}=\frac{4}{x(x-2)}+1$；
$(2)\frac{6}{x^2-25}=\frac{3}{x^2+8x+15}+\frac{5}{x^2-2x-15}$.

设$b=ma$,是否存在有理数$m$,使得$[\left(a+2b\right)^{2}+\left(2a+b\right)\left(2a-b\right)-4b\left(a+b\right)]\div 2a=2a$总是成立?若存在,求出满足条件的$m$；若不存在,说明理由.

两台续航里程相同的燃油车和新能源车的相关数据如下所示,若燃油车每千米行驶费用比新能源车多$0.5$元,则续航里程$a$的值是多少?

燃油车 邮箱容量:$50$升 油价:$7.5$元$/$升 续航里程:$akm$

新能源车 电池电量:$75$千瓦时 电价:$0.5$元$/$千瓦时 续航里程:$akm$

我们把形如$x+\frac{ab}{x}=a+b(a$,$b$不为零）,且两个解分别为$x_{1}=a$,$x_{2}=b$的方程称为"十字分式方程".
例如$x+\frac{3}{x}=4$为十字分式方程,可化为$x+\frac{1×3}{x}=1+3$,
$\therefore x_{1}=1$,$x_{2}=3$.
再如$x+\frac{8}{x}=-6$为十字分式方程,可化为$x+\frac{(-2)×(-4)}{x}=\left(-2\right)+\left(-4\right)$,
$\therefore x_{1}=-2$,$x_{2}=-4$.
应用上面的结论解答下列问题:
$(1)$若$x+\frac{6}{x}=-5$为十字分式方程,则$x_{1}=$______,$x_{2}=\_\_\_\_\_\_.$
$(2)$若十字分式方程$x-\frac{5}{x}=-2$的两个解分别为$x_{1}=m$,$x_{2}=n$,求$\frac{n}{m}+\frac{m}{n}$的值.
$(3)$若关于$x$的十字分式方程$x-\frac{2{k}^{2}+3k}{x-2}=-k-1$的两个解分别为$x_{1}$,$x_{2}(k \gt 0$,$x_{1} \gt x_{2})$,求$\frac{{x}_{1}-2}{{x}_{2}+1}$的值.