C

$A$、电阻$R$断路，电路中无电流，电流表无示数；电压表的正负接线柱通过灯丝、导线接在电源正负极上，电压表有示数，不符合题意，故$A$错；
$B$、电阻$R$短路，电压表被短路，电路中只有电灯，电压表示数为$0$，电流表有示数，不符合题意，故$B$错；
$C$、灯$L$断路，电路中无电流，电流表无示数；电压表的正负接线柱不能接在电源正负极上，电压表无示数，符合题意，故$C$正确；
$D$、灯$L$短路，电路中只有电阻，电压表和电流表都有示数，不符合题意，故$D$错。
故选：$C$。