由题意，$\because$点$B$关于点$A$的对称点为点$C$，且数轴上与$1$，$\sqrt{3}$对应的点分别为$A$，$B$，
$\therefore$点$C$表示的数为$1-(\sqrt{3}-1)=2-\sqrt{3}$，即$x=2-\sqrt{3}$.
$\therefore |x-\sqrt{3}|+\frac{1}{x}$
$=|2-\sqrt{3}-\sqrt{3}|+\frac{1}{2-\sqrt{3}}$
$=|2-2\sqrt{3}|+\frac{2+\sqrt{3}}{(2-\sqrt{3})(2+\sqrt{3})}$
$=2\sqrt{3}-2+2+\sqrt{3}$
$=3\sqrt{3}$，
故答案为：$3\sqrt{3}$.

由题意，$\because$点$B$关于点$A$的对称点为点$C$，且数轴上与$1$，$\sqrt{3}$对应的点分别为$A$，$B$，
$\therefore$点$C$表示的数为$1-(\sqrt{3}-1)=2-\sqrt{3}$，即$x=2-\sqrt{3}$.
$\therefore |x-\sqrt{3}|+\frac{1}{x}$
$=|2-\sqrt{3}-\sqrt{3}|+\frac{1}{2-\sqrt{3}}$
$=|2-2\sqrt{3}|+\frac{2+\sqrt{3}}{(2-\sqrt{3})(2+\sqrt{3})}$
$=2\sqrt{3}-2+2+\sqrt{3}$
$=3\sqrt{3}$，
故答案为：$3\sqrt{3}$.