延长$BD$交$AC$于点$H$，

$\because AD\bot BH$，
$\therefore \angle ADB=\angle ADH=90^{\circ}$，
$\because AD$是$\angle ABC$的角平分线，
$\therefore \angle BAD=\angle HAD$，
在$\triangle ABD$和$\triangle AHD$中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ADB=∠ADH}\\{AD=AD}\\{∠BAD=∠HAD}\end{array}\right.$，
$\therefore \triangle ABD$≌$\triangle AHD\left(ASA\right)$，
$\therefore AB=AH$，$BD=DH$，
$\because AB-AC=4$，
$\therefore CH=AH-AC=4$，
$\because BD=DH$，$AE=CE$，
$\therefore {S}_{△ABD}=\frac{1}{2}{S}_{△ABH}$，${S}_{△ABE}=\frac{1}{2}{S}_{△ABC}$，
$\because S_{\triangle BDF}-S_{\triangle AEF}=S_{\triangle ABD}-S_{\triangle ABE}$，
$\therefore {S}_{△BDF}-{S}_{△AEF}=\frac{1}{2}({S}_{△ABH}-{S}_{△ABC})=\frac{1}{2}{S}_{△BCH}$，
$\because$当$BC\bot CH$时，$\triangle BCH$的面积最大，最大面积为${S}_{△BCH}=\frac{1}{2}×4×7=14$，
$\therefore$图中两个阴影部分面积之差的最大值为$=\frac{1}{2}{S}_{△BCH}=\frac{1}{2}×14=7$，
故答案为：$7$.

延长$BD$交$AC$于点$H$，

$\because AD\bot BH$，
$\therefore \angle ADB=\angle ADH=90^{\circ}$，
$\because AD$是$\angle ABC$的角平分线，
$\therefore \angle BAD=\angle HAD$，
在$\triangle ABD$和$\triangle AHD$中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ADB=∠ADH}\\{AD=AD}\\{∠BAD=∠HAD}\end{array}\right.$，
$\therefore \triangle ABD$≌$\triangle AHD\left(ASA\right)$，
$\therefore AB=AH$，$BD=DH$，
$\because AB-AC=4$，
$\therefore CH=AH-AC=4$，
$\because BD=DH$，$AE=CE$，
$\therefore {S}_{△ABD}=\frac{1}{2}{S}_{△ABH}$，${S}_{△ABE}=\frac{1}{2}{S}_{△ABC}$，
$\because S_{\triangle BDF}-S_{\triangle AEF}=S_{\triangle ABD}-S_{\triangle ABE}$，
$\therefore {S}_{△BDF}-{S}_{△AEF}=\frac{1}{2}({S}_{△ABH}-{S}_{△ABC})=\frac{1}{2}{S}_{△BCH}$，
$\because$当$BC\bot CH$时，$\triangle BCH$的面积最大，最大面积为${S}_{△BCH}=\frac{1}{2}×4×7=14$，
$\therefore$图中两个阴影部分面积之差的最大值为$=\frac{1}{2}{S}_{△BCH}=\frac{1}{2}×14=7$，
故答案为：$7$.