（1）抛物线$y=-x^{2}+2x+3$与$x$轴交于点$A$，$C($点$A$在点$C$的右侧），与$y$轴交于点$B$，
当$y=0$时，得：$-x^{2}+2x+3=0$，
解得：$x=-1$或$x=3$，
$\therefore C\left(-1,0\right)$，$A\left(3,0\right)$，
当$x=0$，$y=3$，
$\therefore B\left(0,3\right)$，
一次函数$y=kx+b$经过点$A$，$B$，将点$A$，点$B$的坐标代入得：
$\left\{\begin{array}{l}3k+b=0\\ b=3\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}k=-1\\ b=3\end{array}\right.$；
$(2)$过点$F$作$FG\bot x$轴于点$G$，过点$E$作$EH\bot FG$于点$H$，

由（1）得一次函数解析式为$y=-x+3$，
$\because$点$E$在直线$AB$上，
$\therefore$设$E\left(x,-x+3\right)$，则$D(x$，$-x^{2}+2x+3)$，
$\therefore DE=-x^{2}+2x+3-\left(-x+3\right)=-x^{2}+3x$，
$\therefore -x^{2}+3x=2$，
解得：$x=1$或$x=2$，
$\therefore E\left(1,2\right)$或$E\left(2,1\right)$，
$\because B\left(0,3\right)$，$A\left(3,0\right)$，
$\therefore OA=OB=3$，
$\because \angle AOB=90^{\circ}$，
$\therefore \angle OBA=\angle BAO=45^{\circ}$，
$\because DE$∥$y$轴，
$\therefore \angle DEB=\angle OBA=45^{\circ}$，
$\because DF\bot AB$，
$\therefore \triangle DEF$为等腰直角三角形，
在等腰直角$\triangle DEF$中，$DE=2$，
由勾股定理得：$EF=\frac{\sqrt{2}}{2}DE=\sqrt{2}$，
又$\because EH$∥$x$轴，
$\therefore \angle FEH=\angle BAC=45^{\circ}$，
在等腰直角$\triangle FEH$中，$EF=\sqrt{2}$，
由勾股定理得：$EH=\frac{\sqrt{2}}{2}EF=1$，
$\therefore$当$E\left(1,2\right)$时，此时$x_{F}=x_{H}=1-1=0$，
$\therefore F\left(0,3\right)$；
当$E\left(2,1\right)$时，此时$x_{F}=x_{H}=2-1=1$，
$\therefore F\left(1,2\right)$，
综上所述：$F\left(0,3\right)$或$F\left(1,2\right)$；
$(3)$当$E\left(1,2\right)$时，则$D\left(1,4\right)$，
设直线$CD$解析式为$y=mx+n$，将点$C$，点$D$的坐标代入得：
$\left\{\begin{array}{l}-m+n=0\\ m+n=4\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}m=2\\ n=2\end{array}\right.$，
$\therefore$直线$CD$解析式为$y=2x+2$，
联立得：$\left\{\begin{array}{l}{y=2x+2}\\{y=-x+3}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{1}{3}}\\{y=\frac{8}{3}}\end{array}\right.$，
$\therefore M(\frac{1}{3}，\frac{8}{3})$，
$\therefore S_{\triangle MCA}=\frac{1}{2}AC\cdot |y_{M}|=\frac{1}{2}\times 4\times \frac{8}{3}=\frac{16}{3}$；
当$E\left(2,1\right)$时，则$D\left(2,3\right)$，同理可求$S_{\triangle MCA}=4$，
综上所述：$\triangle MCA$的面积为$\frac{16}{3}$或$4$.

（1）抛物线$y=-x^{2}+2x+3$与$x$轴交于点$A$，$C($点$A$在点$C$的右侧），与$y$轴交于点$B$，
当$y=0$时，得：$-x^{2}+2x+3=0$，
解得：$x=-1$或$x=3$，
$\therefore C\left(-1,0\right)$，$A\left(3,0\right)$，
当$x=0$，$y=3$，
$\therefore B\left(0,3\right)$，
一次函数$y=kx+b$经过点$A$，$B$，将点$A$，点$B$的坐标代入得：
$\left\{\begin{array}{l}3k+b=0\\ b=3\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}k=-1\\ b=3\end{array}\right.$；
$(2)$过点$F$作$FG\bot x$轴于点$G$，过点$E$作$EH\bot FG$于点$H$，

由（1）得一次函数解析式为$y=-x+3$，
$\because$点$E$在直线$AB$上，
$\therefore$设$E\left(x,-x+3\right)$，则$D(x$，$-x^{2}+2x+3)$，
$\therefore DE=-x^{2}+2x+3-\left(-x+3\right)=-x^{2}+3x$，
$\therefore -x^{2}+3x=2$，
解得：$x=1$或$x=2$，
$\therefore E\left(1,2\right)$或$E\left(2,1\right)$，
$\because B\left(0,3\right)$，$A\left(3,0\right)$，
$\therefore OA=OB=3$，
$\because \angle AOB=90^{\circ}$，
$\therefore \angle OBA=\angle BAO=45^{\circ}$，
$\because DE$∥$y$轴，
$\therefore \angle DEB=\angle OBA=45^{\circ}$，
$\because DF\bot AB$，
$\therefore \triangle DEF$为等腰直角三角形，
在等腰直角$\triangle DEF$中，$DE=2$，
由勾股定理得：$EF=\frac{\sqrt{2}}{2}DE=\sqrt{2}$，
又$\because EH$∥$x$轴，
$\therefore \angle FEH=\angle BAC=45^{\circ}$，
在等腰直角$\triangle FEH$中，$EF=\sqrt{2}$，
由勾股定理得：$EH=\frac{\sqrt{2}}{2}EF=1$，
$\therefore$当$E\left(1,2\right)$时，此时$x_{F}=x_{H}=1-1=0$，
$\therefore F\left(0,3\right)$；
当$E\left(2,1\right)$时，此时$x_{F}=x_{H}=2-1=1$，
$\therefore F\left(1,2\right)$，
综上所述：$F\left(0,3\right)$或$F\left(1,2\right)$；
$(3)$当$E\left(1,2\right)$时，则$D\left(1,4\right)$，
设直线$CD$解析式为$y=mx+n$，将点$C$，点$D$的坐标代入得：
$\left\{\begin{array}{l}-m+n=0\\ m+n=4\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}m=2\\ n=2\end{array}\right.$，
$\therefore$直线$CD$解析式为$y=2x+2$，
联立得：$\left\{\begin{array}{l}{y=2x+2}\\{y=-x+3}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{1}{3}}\\{y=\frac{8}{3}}\end{array}\right.$，
$\therefore M(\frac{1}{3}，\frac{8}{3})$，
$\therefore S_{\triangle MCA}=\frac{1}{2}AC\cdot |y_{M}|=\frac{1}{2}\times 4\times \frac{8}{3}=\frac{16}{3}$；
当$E\left(2,1\right)$时，则$D\left(2,3\right)$，同理可求$S_{\triangle MCA}=4$，
综上所述：$\triangle MCA$的面积为$\frac{16}{3}$或$4$.