$\because$正方形$ABCD$的面积为$25$，
$\therefore$正方形$ABCD$的边长为$5$，
由题意得：$DF=a$，$AF=5+a$，
$\because$正方形$ABCD$和矩形$AEGF$的周长相等，
$\therefore 2\left(AE+AF\right)=5\times 4$，
$\therefore AE=5-a$，
$\because$矩形$AEGF$的面积为$22$，
$\therefore AE\cdot AF=22$，即$\left(5-a\right)\left(5+a\right)=22$，
解得：$a_{1}=\sqrt{3}$，$a_{2}=-\sqrt{3}$，
$\because a \gt 0$，
$\therefore a=\sqrt{3}$，
故答案为：$\sqrt{3}$.

$\because$正方形$ABCD$的面积为$25$，
$\therefore$正方形$ABCD$的边长为$5$，
由题意得：$DF=a$，$AF=5+a$，
$\because$正方形$ABCD$和矩形$AEGF$的周长相等，
$\therefore 2\left(AE+AF\right)=5\times 4$，
$\therefore AE=5-a$，
$\because$矩形$AEGF$的面积为$22$，
$\therefore AE\cdot AF=22$，即$\left(5-a\right)\left(5+a\right)=22$，
解得：$a_{1}=\sqrt{3}$，$a_{2}=-\sqrt{3}$，
$\because a \gt 0$，
$\therefore a=\sqrt{3}$，
故答案为：$\sqrt{3}$.