C

$A$.当断开$S_{1}$、闭合$S_{2}$时，电路中无电流，电路处于断路状态，故$A$不符合题意；
$B$.当闭合$S_{1}$、断开$S_{2}$时，$L_{1}$、$L_{2}$是串联的，电路中有电流，两灯都会发光，故$B$不符合题意；
$C$.当闭合$S_{1}$、$S_{2}$时，$L_{2}$发生短路，则$L_{2}$不发光，只有$L_{1}$会发光，故$C$符合题意；
$D$.只闭合$S_{1}$时，$L_{1}$、$L_{2}$是串联的，发现$L_{1}$和$L_{2}$都不发光，这说明电路出现了断路故障，则故障可能是$L_{2}$开路，也可能是$L_{1}$开路，故$D$不符合题意。
故选：$C$。