由一次函数的表达式得，点$A(-5\sqrt{3}$，$0)$，则$AP=4\sqrt{3}$，

作点$P$关于$y$轴的对称点$Q(\sqrt{3}$，$0)$，点$P$关于直线$AB$的对称点$N$，则$PD=QD$，$CP=CN$，

过点$N$作$HN\bot x$轴于点$H$，$PN$交$AB$于点$T$，连接$NQ$交$AB$于点$C$，交$y$轴于点$D$，此时，$\triangle PCD$周长最小，

理由：$\triangle PCD$周长$=PC+CD+PD=NC+CD+DQ=QN$为最小，

在$Rt\triangle APT$中，$\angle BAO=30^{\circ}$，则$PT=\frac{1}{2}AP=2\sqrt{3}$，$\angle NPH=60^{\circ}$，

则$PN=2PT=4\sqrt{3}$，

则$Rt\triangle PNH$中，$NH=PN\cdot \sin \angle NPH=4\sqrt{3}\times \frac{\sqrt{3}}{2}=6$，$PH=\frac{1}{2}PN=2\sqrt{3}$，

则点$N(-3\sqrt{3}$，$6)$，

由点$NQ$的坐标得，$NQ=\sqrt{(\sqrt{3}+3\sqrt{3})^{2}+{6}^{2}}=2\sqrt{21}$，

故答案为：$2\sqrt{21}$.

由一次函数的表达式得，点$A(-5\sqrt{3}$，$0)$，则$AP=4\sqrt{3}$，

作点$P$关于$y$轴的对称点$Q(\sqrt{3}$，$0)$，点$P$关于直线$AB$的对称点$N$，则$PD=QD$，$CP=CN$，

过点$N$作$HN\bot x$轴于点$H$，$PN$交$AB$于点$T$，连接$NQ$交$AB$于点$C$，交$y$轴于点$D$，此时，$\triangle PCD$周长最小，

理由：$\triangle PCD$周长$=PC+CD+PD=NC+CD+DQ=QN$为最小，

在$Rt\triangle APT$中，$\angle BAO=30^{\circ}$，则$PT=\frac{1}{2}AP=2\sqrt{3}$，$\angle NPH=60^{\circ}$，

则$PN=2PT=4\sqrt{3}$，

则$Rt\triangle PNH$中，$NH=PN\cdot \sin \angle NPH=4\sqrt{3}\times \frac{\sqrt{3}}{2}=6$，$PH=\frac{1}{2}PN=2\sqrt{3}$，

则点$N(-3\sqrt{3}$，$6)$，

由点$NQ$的坐标得，$NQ=\sqrt{(\sqrt{3}+3\sqrt{3})^{2}+{6}^{2}}=2\sqrt{21}$，

故答案为：$2\sqrt{21}$.