在平面直角坐标系中,已知点$A\left(-a,a\right)$和点$B\left(c,b\right)$,且满足$\left\{\begin{array}{l}{3a-b+2c=8}\\{a-2b-c=-4}\end{array}\right.$.
$(1)$若$a$为不等式$2x+6 \lt 0$的最大整数解,求$a$的值并判断点$A$在第几象限；
$(2)$在（1）的条件下,求$\triangle AOB$的面积；
$(3)$在（2）的条件下,若两个动点$M\left(k-1,k\right)$,$N\left(-2h+10,h\right)$,请你探索是否存在以两个动点$M$、$N$为端点的线段$MN$∥$AB$,且$MN=AB$,若存在,求$M$、$N$两点的坐标；若不存在,请说明理由.​