证明：$\left(1\right)\triangle ABC$为等边三角形，点$D$、$E$分别在边$BC$、$AB$上，$\angle ADE=60^{\circ}$，
$\therefore \angle B=\angle C=60^{\circ}$，$CA=BC$，
$\therefore \angle ADC+\angle CAD=120^{\circ}$，
$\therefore \angle BDE+\angle ADC=120^{\circ}$，
$\therefore \angle BDE=\angle CAD$；
$(2)$由（1）知$\angle BDE=\angle CAD$，
$\because \angle B=\angle C=60^{\circ}$，
$\therefore \triangle BDE$∽$\triangle CAD$，
$\therefore \frac{AD}{DE}=\frac{AC}{BD}$，
$\therefore AD\cdot DB=AC\cdot DE$.

证明：$\left(1\right)\triangle ABC$为等边三角形，点$D$、$E$分别在边$BC$、$AB$上，$\angle ADE=60^{\circ}$，
$\therefore \angle B=\angle C=60^{\circ}$，$CA=BC$，
$\therefore \angle ADC+\angle CAD=120^{\circ}$，
$\therefore \angle BDE+\angle ADC=120^{\circ}$，
$\therefore \angle BDE=\angle CAD$；
$(2)$由（1）知$\angle BDE=\angle CAD$，
$\because \angle B=\angle C=60^{\circ}$，
$\therefore \triangle BDE$∽$\triangle CAD$，
$\therefore \frac{AD}{DE}=\frac{AC}{BD}$，
$\therefore AD\cdot DB=AC\cdot DE$.