D

设正中间的数为$x$，
则这$7$个数分别为：$x-8$，$x-6$，$x-1$，$x$，$x+1$，$x+6$，$x+8$，
这$7$个数的和为：$\left(x-8\right)+\left(x-6\right)+\left(x-1\right)+x+\left(x+1\right)+\left(x+6\right)+\left(x+8\right)=7x$，
当$7x=49$，解得$x=7$，不符合题意；
当$7x=85$，解得$x=\frac{{85}}{7}$，不符合题意；
当$7x=108$，解得$x=\frac{{108}}{7}$，不符合题意；
当$7x=112$，解得$x=16$，符合题意；
故选：$D$.