C

$A$.$\sqrt{4}=2$，与$\sqrt{2}$不是同类二次根式，不符合题意；
$B$.$\sqrt{6}$与$\sqrt{2}$不是同类二次根式，不符合题意；
$C$.$\sqrt{\frac{1}{8}}=\frac{\sqrt{2}}{4}$，与$\sqrt{2}$是同类二次根式，符合题意；
$D$.$\sqrt{12}=2\sqrt{3}$，与$\sqrt{2}$不是同类二次根式，不符合题意.
故选：$C$.