A

方案$Ⅰ$：如图，设$AC$与$MN$相交于点$O$，

$\because MN$是线段$AC$的垂直平分线，
$\therefore AM=MC$，$AN=NC$，$CO\bot MN$，
$\therefore \angle DAC=\angle NCA$，$\angle COM=\angle CON=90^{\circ}$，
$\because$四边形$ABCD$是平行四边形，
$\therefore AD$∥$BC$，
$\therefore \angle DAC=\angle BCA$，
$\therefore \angle MCO=\angle NCO$，
在$\triangle OCM$和$\triangle OCN$中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠MCO=∠NCO}\\{OC=OC}\\{∠COM=∠CON}\end{array}\right.$，
$\therefore \triangle OCM$≌$\triangle OCN\left(ASA\right)$，
$\therefore CM=CN$，
$\therefore CM=CN=AM=AN$，
$\therefore$四边形$AMCN$是菱形；
方案$Ⅱ$：$\because$四边形$ABCD$是菱形，
$\therefore AB=CD,\angle B=\angle D,\angle BAD=\angle BCD,AD$∥$BC$，
$\because AM$平分$\angle BAD$，$AN$平分$\angle BCD$，
$\therefore \angle BAM=\angle DCN$，
在$\triangle BAM$和$\triangle DCN$中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BAM=∠DCN}\\{AB=CD}\\{∠B=∠D}\end{array}\right.$，
$\therefore \triangle BAM$≌$\triangle DCN\left(ASA\right)$，
$\therefore \angle BMA=\angle DNC$，
$\because AD$∥$BC$，
$\therefore \angle BMA=\angle DAM$，
$\therefore \angle DNC=\angle DAM$，
$\therefore AM$∥$CN$，
$\therefore$四边形$AMCN$是平行四边形，不能判断四边形$AMCN$是菱形，
故选：$A$.