在等腰$\triangle ABC$中,$AB=AC$,点$D$是$BC$边上一点（不与点$B$、$C$重合）,连结$AD$.

$(1)$如图$1$,若$\angle C=60^{\circ}$,点$D$关于直线$AB$的对称点为点$E$,结$AE$,$DE$,则$\angle BDE=$______；
$(2)$若$\angle C=60^{\circ}$,将线段$AD$绕点$A$顺时针旋转$60^{\circ}$得到线段$AE$,连结$BE$.
①在图$2$中补全图形；
②探究$CD$与$BE$的数量关系,并证明.