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八年级数学solution一般
题目
如图,在△ABC\triangle ABC中,AB=ACAB=AC,DD是BCBC上任意一点,过点DD分别向ABAB、ACAC引垂线,垂足分别为EE、FF,CGCG是ABAB边上的高.
(1)(1)当DD点在BCBC什么位置时,DE=DFDE=DF?并证明；
(2)(2)线段DEDE,DFDF,CGCG的长度之间存在怎样的数量关系?并加以证明.
知识点：全等三角形的性质、全等三角形的判定、等腰三角形的性质章节：未标注

答案与解析

答案

（1）当点DD在BCBC的中点时，DE=DFDE=DF，理由如下：
∵D\because D为BCBC中点，
∴BD=CD\therefore BD=CD，
∵AB=AC\because AB=AC，
∴∠B=∠C\therefore \angle B=\angle C，
∵DE⊥AB\because DE\bot AB，DF⊥ACDF\bot AC，
∴∠DEB=∠DFC=90∘\therefore \angle DEB=\angle DFC=90^{\circ}，
在△BED\triangle BED和△CFD\triangle CFD中
{∠B=∠C∠DEB=∠DFCBD=CD\left\{\begin{array}{l}{∠B=∠C}\\{∠DEB=∠DFC}\\{BD=CD}\end{array}\right.，
∴△BED\therefore \triangle BED≌△CFD(AAS)\triangle CFD\left(AAS\right)，
∴DE=DF\therefore DE=DF.
(2)DE+DF=CG(2)DE+DF=CG.
证明：如图，连接ADAD，则S△ABC=S△ABD+S△ACDS_{\triangle ABC}=S_{\triangle ABD}+S_{\triangle ACD}，
即12AB⋅CG=12AB⋅DE+12AC⋅DF\frac{1}{2}AB\cdot CG=\frac{1}{2}AB\cdot DE+\frac{1}{2}AC\cdot DF，
∵AB=AC\because AB=AC，
∴CG=DE+DF\therefore CG=DE+DF.

解析

（1）当点DD在BCBC的中点时，DE=DFDE=DF，理由如下：
∵D\because D为BCBC中点，
∴BD=CD\therefore BD=CD，
∵AB=AC\because AB=AC，
∴∠B=∠C\therefore \angle B=\angle C，
∵DE⊥AB\because DE\bot AB，DF⊥ACDF\bot AC，
∴∠DEB=∠DFC=90∘\therefore \angle DEB=\angle DFC=90^{\circ}，
在△BED\triangle BED和△CFD\triangle CFD中
{∠B=∠C∠DEB=∠DFCBD=CD\left\{\begin{array}{l}{∠B=∠C}\\{∠DEB=∠DFC}\\{BD=CD}\end{array}\right.，
∴△BED\therefore \triangle BED≌△CFD(AAS)\triangle CFD\left(AAS\right)，
∴DE=DF\therefore DE=DF.
(2)DE+DF=CG(2)DE+DF=CG.
证明：如图，连接ADAD，则S△ABC=S△ABD+S△ACDS_{\triangle ABC}=S_{\triangle ABD}+S_{\triangle ACD}，
即12AB⋅CG=12AB⋅DE+12AC⋅DF\frac{1}{2}AB\cdot CG=\frac{1}{2}AB\cdot DE+\frac{1}{2}AC\cdot DF，
∵AB=AC\because AB=AC，
∴CG=DE+DF\therefore CG=DE+DF.

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