已知,在$\triangle ABC$中,$\angle BAC=30^{\circ}$,点$D$在射线$BC$上,连接$AD$,$\angle CAD=\alpha$,点$D$关于直线$AC$的对称点为$E$,点$E$关于直线$AB$的对称点为$F$,直线$EF$分别交直线$AC$,$AB$于点$M$,$N$,连接$AF$,$AE$,$CE$.
$(1)$如图$1$,点$D$在线段$BC$上.
①根据题意补全图$1$；
②$\angle AEF=$______(用含有$\alpha$的代数式表示）,
$\angle AMF=\_\_\_\_\_\_^{\circ}$；
③用等式表示线段$MA$,$ME$,$MF$之间的数量关系,并证明.
$(2)$点$D$在线段$BC$的延长线上,且$\angle CAD \lt 60^{\circ}$,直接用等式表示线段$MA$,$ME$,$MF$之间的数量关系,不证明.