（1）①如图所示：

②$\because$点$D$关于直线$AC$的对称点为$E$，
$\therefore \triangle ADC$≌$\triangle AEC$，
$\therefore \angle CAE=\angle CAD=\alpha$，
$\because \angle BAC=30^{\circ}$，
$\therefore \angle EAN=30^{\circ}+\alpha$，
又$\because$点$E$关于直线$AB$的对称点为$F$，
$\therefore AB$垂直平分$EF$，
$\therefore AF=AE$，$\angle FAN=\angle EAN=30^{\circ}+\alpha$，
$\therefore \angle F=\angle AEF=\frac{{180°-2({30°+α})}}{2}=60°-α$，
$\therefore \angle AMF=60^{\circ}-\alpha +\alpha =60^{\circ}$，
故答案为：$60^{\circ}-\alpha$，$60$；
③$MF=MA+ME$，理由如下：如图，在$FE$上截取$GF=ME$，连接$AG$，

$\because$点$D$关于直线$AC$的对称点为$E$，
$\therefore \triangle ADC$≌$\triangle AEC$，
$\therefore \angle CAE=\angle CAD=\alpha$，
$\because \angle BAC=30^{\circ}$，
$\therefore \angle EAN=30^{\circ}+\alpha$，
又$\because$点$E$关于直线$AB$的对称点为$F$，
$\therefore AB$垂直平分$EF$，
$\therefore AF=AE$，$\angle FAN=\angle EAN=30^{\circ}+\alpha$，
$\therefore \angle F=\angle AEF=\frac{{180°-2({30°+α})}}{2}=60°-α$.
$\therefore \angle AMG=60^{\circ}-\alpha +\alpha =60^{\circ}$，
$\because AF=AE$，$\angle F=\angle AEF$，$GF=ME$，
$\therefore \triangle AFG$≌$\triangle AEM\left(SAS\right)$，
$\therefore AG=AM$，
又$\because \angle AMG=60^{\circ}$，
$\therefore \triangle AGM$为等边三角形，
$\therefore MA=MG$，
$\therefore MF=MG+GF=MA+ME$；
$(2)MF=MA-ME$，理由如下：
如图$2$，延长$MF$至$G$，使$FG=EM$，连接$AG$，

$\because$点$D$关于直线$AC$的对称点为$E$，
$\therefore \angle CAE=\angle CAD=\alpha$，
$\because \angle BAC=30^{\circ}$，
$\therefore \angle EAN=30^{\circ}-\alpha$，
又$\because$点$E$关于直线$AB$的对称点为$F$，
$\therefore AB$垂直平分$EF$，
$\therefore AF=AE$，$\angle FAN=\angle EAN=30^{\circ}-\alpha$，
$\therefore \angle AFE=\angle AEF=\frac{180°-2(30°-α)}{2}=60^{\circ}+\alpha$，
$\therefore \angle AMF=\angle AEF-\angle CAE=60^{\circ}+\alpha -\alpha =60^{\circ}$，$\angle AEM=\angle AFG$，
又$\because AF=AE$，$GF=ME$，
$\therefore \triangle AFG$≌$\triangle AEM\left(SAS\right)$，
$\therefore AG=AM$，
又$\because \angle AMG=60^{\circ}$，
$\therefore \triangle AGM$为等边三角形，
$\therefore MA=MG$，
$\therefore MF=MG-GF=MA-ME$.

$(1)$①依照题意画出图形即可；
②由轴对称的性质可求$AF=AE$，$\angle FAN=\angle EAN=30^{\circ}+\alpha$，由等腰三角形的性质可求解；
③由“$SAS$”可证$\triangle AFG$≌$\triangle AEM$，可得$MA=MG$，由线段的数量关系可求解；
$(2)$由“$SAS$”可证$\triangle AFG$≌$\triangle AEM$，可得$MA=MG$，由线段的数量关系可求解.

【点评】

本题是几何变换综合题，考查了轴对称的性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键.

（1）①如图所示：

②$\because$点$D$关于直线$AC$的对称点为$E$，
$\therefore \triangle ADC$≌$\triangle AEC$，
$\therefore \angle CAE=\angle CAD=\alpha$，
$\because \angle BAC=30^{\circ}$，
$\therefore \angle EAN=30^{\circ}+\alpha$，
又$\because$点$E$关于直线$AB$的对称点为$F$，
$\therefore AB$垂直平分$EF$，
$\therefore AF=AE$，$\angle FAN=\angle EAN=30^{\circ}+\alpha$，
$\therefore \angle F=\angle AEF=\frac{{180°-2({30°+α})}}{2}=60°-α$，
$\therefore \angle AMF=60^{\circ}-\alpha +\alpha =60^{\circ}$，
故答案为：$60^{\circ}-\alpha$，$60$；
③$MF=MA+ME$，理由如下：如图，在$FE$上截取$GF=ME$，连接$AG$，

$\because$点$D$关于直线$AC$的对称点为$E$，
$\therefore \triangle ADC$≌$\triangle AEC$，
$\therefore \angle CAE=\angle CAD=\alpha$，
$\because \angle BAC=30^{\circ}$，
$\therefore \angle EAN=30^{\circ}+\alpha$，
又$\because$点$E$关于直线$AB$的对称点为$F$，
$\therefore AB$垂直平分$EF$，
$\therefore AF=AE$，$\angle FAN=\angle EAN=30^{\circ}+\alpha$，
$\therefore \angle F=\angle AEF=\frac{{180°-2({30°+α})}}{2}=60°-α$.
$\therefore \angle AMG=60^{\circ}-\alpha +\alpha =60^{\circ}$，
$\because AF=AE$，$\angle F=\angle AEF$，$GF=ME$，
$\therefore \triangle AFG$≌$\triangle AEM\left(SAS\right)$，
$\therefore AG=AM$，
又$\because \angle AMG=60^{\circ}$，
$\therefore \triangle AGM$为等边三角形，
$\therefore MA=MG$，
$\therefore MF=MG+GF=MA+ME$；
$(2)MF=MA-ME$，理由如下：
如图$2$，延长$MF$至$G$，使$FG=EM$，连接$AG$，

$\because$点$D$关于直线$AC$的对称点为$E$，
$\therefore \angle CAE=\angle CAD=\alpha$，
$\because \angle BAC=30^{\circ}$，
$\therefore \angle EAN=30^{\circ}-\alpha$，
又$\because$点$E$关于直线$AB$的对称点为$F$，
$\therefore AB$垂直平分$EF$，
$\therefore AF=AE$，$\angle FAN=\angle EAN=30^{\circ}-\alpha$，
$\therefore \angle AFE=\angle AEF=\frac{180°-2(30°-α)}{2}=60^{\circ}+\alpha$，
$\therefore \angle AMF=\angle AEF-\angle CAE=60^{\circ}+\alpha -\alpha =60^{\circ}$，$\angle AEM=\angle AFG$，
又$\because AF=AE$，$GF=ME$，
$\therefore \triangle AFG$≌$\triangle AEM\left(SAS\right)$，
$\therefore AG=AM$，
又$\because \angle AMG=60^{\circ}$，
$\therefore \triangle AGM$为等边三角形，
$\therefore MA=MG$，
$\therefore MF=MG-GF=MA-ME$.

$(1)$①依照题意画出图形即可；
②由轴对称的性质可求$AF=AE$，$\angle FAN=\angle EAN=30^{\circ}+\alpha$，由等腰三角形的性质可求解；
③由“$SAS$”可证$\triangle AFG$≌$\triangle AEM$，可得$MA=MG$，由线段的数量关系可求解；
$(2)$由“$SAS$”可证$\triangle AFG$≌$\triangle AEM$，可得$MA=MG$，由线段的数量关系可求解.

【点评】

本题是几何变换综合题，考查了轴对称的性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键.