$\left(1\right)\because \angle CBF$是$\triangle ABC$的外角，

$\therefore \angle CBF=\angle CAB+\angle C$，

$\because AD$平分$\angle CAB$，$BD$平分$\angle CBF$，

$\therefore \angle CBD=\frac{1}{2}\angle CBF$，$\angle CAD=\frac{1}{2}\angle CAB$，

$\therefore \angle CBD=\angle CAD+\frac{1}{2}\angle C$，

$\therefore \angle CBD-\angle CAD=\frac{1}{2}\angle C$，

$\because \angle CBD+\angle D=\angle CAD+\angle C$，

$\therefore \angle CBD-\angle CAD=\angle C-\angle D$，

$\therefore \angle D=\frac{1}{2}\angle C=44^{\circ}$.

故答案为：$44$.

$(2)\because AD$平分$\angle CAB$，$BE$平分$\angle CBA$，

$\therefore \angle EAB=\frac{1}{2}\angle CAB$，$\angle EBA=\frac{1}{2}\angle CBA$，

$\because \angle CAB+\angle CAB+\angle C=180^{\circ}$，

$\therefore \angle EAB+\angle EBA+\frac{1}{2}\angle C=90^{\circ}$，即：$\angle EAB+\angle EBA=90^{\circ}-\frac{1}{2}\angle C$，

$\therefore \angle BED=\angle EAB+\angle EBA=90^{\circ}-\frac{1}{2}\angle C$，

由（1）得：$\angle D=\frac{1}{2}\angle C$，

$\because \angle BED=\angle D$，

$\therefore 90^{\circ}-\frac{1}{2}\angle C=\frac{1}{2}\angle C$，

解得：$\angle C=90^{\circ}$.

$(3)MH$∥$AD$，理由如下：

由题意得：$\angle C=\angle MNA=90^{\circ}$，

$\therefore \angle CMN+\angle CAB=180^{\circ}$，

$\because AD$平分$\angle CAB$，$MH$平分$\angle CMN$，

$\therefore \angle EAB=\frac{1}{2}\angle CAB$，$\angle HME=\frac{1}{2}\angle CMN$，

$\therefore \angle HME+\angle EAB=90^{\circ}$，

$\because \angle AEN+\angle EAB=90^{\circ}$，

$\therefore \angle HME=\angle AEN$，

$\therefore MH$∥$AD.$

$\left(1\right)\because \angle CBF$是$\triangle ABC$的外角，

$\therefore \angle CBF=\angle CAB+\angle C$，

$\because AD$平分$\angle CAB$，$BD$平分$\angle CBF$，

$\therefore \angle CBD=\frac{1}{2}\angle CBF$，$\angle CAD=\frac{1}{2}\angle CAB$，

$\therefore \angle CBD=\angle CAD+\frac{1}{2}\angle C$，

$\therefore \angle CBD-\angle CAD=\frac{1}{2}\angle C$，

$\because \angle CBD+\angle D=\angle CAD+\angle C$，

$\therefore \angle CBD-\angle CAD=\angle C-\angle D$，

$\therefore \angle D=\frac{1}{2}\angle C=44^{\circ}$.

故答案为：$44$.

$(2)\because AD$平分$\angle CAB$，$BE$平分$\angle CBA$，

$\therefore \angle EAB=\frac{1}{2}\angle CAB$，$\angle EBA=\frac{1}{2}\angle CBA$，

$\because \angle CAB+\angle CAB+\angle C=180^{\circ}$，

$\therefore \angle EAB+\angle EBA+\frac{1}{2}\angle C=90^{\circ}$，即：$\angle EAB+\angle EBA=90^{\circ}-\frac{1}{2}\angle C$，

$\therefore \angle BED=\angle EAB+\angle EBA=90^{\circ}-\frac{1}{2}\angle C$，

由（1）得：$\angle D=\frac{1}{2}\angle C$，

$\because \angle BED=\angle D$，

$\therefore 90^{\circ}-\frac{1}{2}\angle C=\frac{1}{2}\angle C$，

解得：$\angle C=90^{\circ}$.

$(3)MH$∥$AD$，理由如下：

由题意得：$\angle C=\angle MNA=90^{\circ}$，

$\therefore \angle CMN+\angle CAB=180^{\circ}$，

$\because AD$平分$\angle CAB$，$MH$平分$\angle CMN$，

$\therefore \angle EAB=\frac{1}{2}\angle CAB$，$\angle HME=\frac{1}{2}\angle CMN$，

$\therefore \angle HME+\angle EAB=90^{\circ}$，

$\because \angle AEN+\angle EAB=90^{\circ}$，

$\therefore \angle HME=\angle AEN$，

$\therefore MH$∥$AD.$