如图,在$\triangle ABC$中,$AB=AC$,$D$为$BC$延长线上一点.
$(1)$用直尺和圆规完成以下基本作图:作线段$BD$的垂直平分线,与边$AC$,$BC$分别交于点$E$,$F$,在线段$AB$上截取$AH$,使得$AH=AE$,连接$EH$,$(保留作图痕迹,不写作法和结论)$
$(2)$在（1）所作图形中,连接$BE$,$DE$,求证:$HE=CD.(请补全下面的证明过程)$
证明:$\because AB=AC$,$AH=AE$,
$\therefore AB-AH=AC-AE$,
$\therefore$①______.
$\because EF$是$BD$的垂直平分线,
$\therefore$②______,
$\therefore \angle EBD=\angle EDC$.
$\because AB=AC$,
$\therefore$③______.
在$\triangle ECD$中,$\angle CED=\angle ACB-\angle EDC$,
$\angle HBE=\angle ABC-\angle EBD$,
$\therefore \angle CED=\angle HBE$.
在$\triangle EBH$和$\triangle DEC$中,
$\left\{\begin{array}{l}{BH=EC(已证)}\\{④}\\{BE=DE(已证)}\end{array}\right.$,
$\therefore \triangle EBH$≌$\triangle DEC\left(SAS\right).$
$\therefore HE=CD$.