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八年级数学solution一般
题目
如图,△ABC\triangle ABC的角平分线BDBD、CECE交于点OO.延长BCBC至FF,CGCG与BDBD的延长线相交于点GG,且∠A=2∠G\angle A=2\angle G,OD:DG=3:4OD:DG=3:4,若△DOC\triangle DOC的面积为66,CG=10CG=10,则线段COCO的长度为______.
知识点：勾股定理、切线的判定章节：未标注

答案与解析

答案

设∠G=α\angle G=\alpha，∠ABD=β\angle ABD=\beta，过点CC作CQ⊥BDCQ\bot BD于QQ，

∵BD\because BD平分∠ABC\angle ABC，∠A=2∠G\angle A=2\angle G，
∴∠ABC=2β\therefore \angle ABC=2\beta，∠DBC=∠ABD=β\angle DBC=\angle ABD=\beta，∠A=2∠G=2α\angle A=2\angle G=2\alpha，
∴∠ACF=2α+2β\therefore \angle ACF=2\alpha +2\beta，∠GCF=α+β\angle GCF=\alpha +\beta，
∴∠ACG=∠GCF=12∠ACF\therefore ∠ACG=∠GCF=\frac{1}{2}∠ACF，
∵CE\because CE平分∠ACB\angle ACB，
∴∠ACE=∠BCE=12∠ACB\therefore ∠ACE=∠BCE=\frac{1}{2}∠ACB，
∴∠ECG=12(∠ACB+∠ACF)=90∘\therefore ∠ECG=\frac{1}{2} \left(\angle ACB+\angle ACF\right)=90^{\circ}；
∵S△ODC=12OD•CQ\because S_{△ODC}=\frac{1}{2}OD•CQ，S△CDG=12DG•CQS_{△CDG}=\frac{1}{2}DG•CQ，OD:DG=3:4OD:DG=3:4，
∴S△ODC\therefore S_{\triangle ODC}：S△CDG=OD:DG=3:4S_{\triangle CDG}=OD:DG=3:4，
∵△DOC\because \triangle DOC的面积为66，
∴S△CDG=8\therefore S_{\triangle CDG}=8，
∴S△OCG=S△ODC+S△CDG=14\therefore S_{\triangle OCG}=S_{\triangle ODC}+S_{\triangle CDG}=14，
∵∠ECG=90∘\because \angle ECG=90^{\circ}，
∴S△OCG=12OC•CG=12×10×OC=14\therefore {S}_{△OCG}=\frac{1}{2}OC•CG=\frac{1}{2}×10×OC=14，
∴OC=145\therefore OC=\frac{14}{5}.
故答案为：145\frac{14}{5}.

解析

设∠G=α\angle G=\alpha，∠ABD=β\angle ABD=\beta，过点CC作CQ⊥BDCQ\bot BD于QQ，

∵BD\because BD平分∠ABC\angle ABC，∠A=2∠G\angle A=2\angle G，
∴∠ABC=2β\therefore \angle ABC=2\beta，∠DBC=∠ABD=β\angle DBC=\angle ABD=\beta，∠A=2∠G=2α\angle A=2\angle G=2\alpha，
∴∠ACF=2α+2β\therefore \angle ACF=2\alpha +2\beta，∠GCF=α+β\angle GCF=\alpha +\beta，
∴∠ACG=∠GCF=12∠ACF\therefore ∠ACG=∠GCF=\frac{1}{2}∠ACF，
∵CE\because CE平分∠ACB\angle ACB，
∴∠ACE=∠BCE=12∠ACB\therefore ∠ACE=∠BCE=\frac{1}{2}∠ACB，
∴∠ECG=12(∠ACB+∠ACF)=90∘\therefore ∠ECG=\frac{1}{2} \left(\angle ACB+\angle ACF\right)=90^{\circ}；
∵S△ODC=12OD•CQ\because S_{△ODC}=\frac{1}{2}OD•CQ，S△CDG=12DG•CQS_{△CDG}=\frac{1}{2}DG•CQ，OD:DG=3:4OD:DG=3:4，
∴S△ODC\therefore S_{\triangle ODC}：S△CDG=OD:DG=3:4S_{\triangle CDG}=OD:DG=3:4，
∵△DOC\because \triangle DOC的面积为66，
∴S△CDG=8\therefore S_{\triangle CDG}=8，
∴S△OCG=S△ODC+S△CDG=14\therefore S_{\triangle OCG}=S_{\triangle ODC}+S_{\triangle CDG}=14，
∵∠ECG=90∘\because \angle ECG=90^{\circ}，
∴S△OCG=12OC•CG=12×10×OC=14\therefore {S}_{△OCG}=\frac{1}{2}OC•CG=\frac{1}{2}×10×OC=14，
∴OC=145\therefore OC=\frac{14}{5}.
故答案为：145\frac{14}{5}.

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