$\because$四边形$ABMN$是矩形，
$\therefore AN=BM=\sqrt{2}$，$\angle M=\angle N=90^{\circ}$，
$\because CM=CN$，
$\therefore \triangle BMC$≌$\triangle ANC\left(SAS\right)$，
$\therefore BC=AC=2\sqrt{2}$，
$\therefore AC=2AN$，
$\therefore \angle ACN=30^{\circ}$，
$\because AB$∥$MN$，
$\therefore \angle CAB=\angle CBA=30^{\circ}$，
①如图$1$中，当$DF\bot AB$时，$\angle ADF=60^{\circ}$，

$\because DA=DF$，
$\therefore \triangle ADF$是等边三角形，
$\therefore \angle AFD=60^{\circ}$，
$\because \angle DFE=\angle DAE=30^{\circ}$，
$\therefore EF$平分$\angle AFD$，
$\therefore EF\bot AD$，此时$AE=\frac{\sqrt{6}}{3}$.
②如图$2$中，当$\triangle AEF$是等边三角形时，$EF\bot AC$，此时$EF=\sqrt{6}$.

综上所述，满足条件的$EF$的值为$\frac{\sqrt{6}}{3}$或$\sqrt{6}$.
故答案为：$\frac{\sqrt{6}}{3}$或$\sqrt{6}$.

$\because$四边形$ABMN$是矩形，
$\therefore AN=BM=\sqrt{2}$，$\angle M=\angle N=90^{\circ}$，
$\because CM=CN$，
$\therefore \triangle BMC$≌$\triangle ANC\left(SAS\right)$，
$\therefore BC=AC=2\sqrt{2}$，
$\therefore AC=2AN$，
$\therefore \angle ACN=30^{\circ}$，
$\because AB$∥$MN$，
$\therefore \angle CAB=\angle CBA=30^{\circ}$，
①如图$1$中，当$DF\bot AB$时，$\angle ADF=60^{\circ}$，

$\because DA=DF$，
$\therefore \triangle ADF$是等边三角形，
$\therefore \angle AFD=60^{\circ}$，
$\because \angle DFE=\angle DAE=30^{\circ}$，
$\therefore EF$平分$\angle AFD$，
$\therefore EF\bot AD$，此时$AE=\frac{\sqrt{6}}{3}$.
②如图$2$中，当$\triangle AEF$是等边三角形时，$EF\bot AC$，此时$EF=\sqrt{6}$.

综上所述，满足条件的$EF$的值为$\frac{\sqrt{6}}{3}$或$\sqrt{6}$.
故答案为：$\frac{\sqrt{6}}{3}$或$\sqrt{6}$.