小明的爸爸投资$1200$元围一个矩形菜园（如图),其中一边靠墙（墙长$24m)$,另外三边选用不同材料建造.平行于墙的边的费用为$20$元$/m$,垂直于墙的边的费用为$15$元$/m$,设平行于墙的边长为$x m$.
$(1)$设垂直于墙的一边长为$y m$,直接写出$y$与$x$之间的函数关系式；
$(2)$设菜园的面积为$S m^{2}$,求$S$与$x$的函数关系式,并求出当$S=546$时$x$的值；
$(3)$小明计算出菜园的最大面积是$600m^{2}$,小明计算的对吗?请说明理由.