（1）根据题意知，$y=\frac{1200-20x}{15×2}=-\frac{2}{3}x+40$，
故$y$与$x$之间的函数关系式为$y=-\frac{2}{3}x+40$；
$(2)$根据题意得，$S=x(-\frac{2}{3}x+40)=-\frac{2}{3}{x^2}+40x$，
当$S=576$时，$-\frac{2}{3}{x^2}+40x=546$，
解这个方程，得$x_{1}=21$，$x_{2}=39$，
$\because x\leqslant 24$，
$\therefore$当$S=546$时，$x=21$；
$(3)$小明计算的不对，
理由：$\because S=-\frac{2}{3}{x^2}+40x=-\frac{2}{3}{(x-30)^2}+600$，
$\because a=-\frac{2}{3}＜0$，
$\therefore$当$x\leqslant 24$时，$S$随$x$的增大而增大.
$\therefore$当$x=24$时，$S$最大，此时$S=576 \lt 600$.
$\therefore$小明计算的不对.

$(1)$根据“垂直于墙的长度$=\frac{总费用-平行于墙的总费用}{垂直于墙的单价}\div 2$”可得函数解析式；
$(2)$根据矩形的面积公式列出总面积关于$x$的函数解析式；
$(3)$根据矩形的面积公式列出总面积关于$x$的函数解析式，配方成顶点式后利用二次函数的性质求解可得.

【点评】

本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是将实际问题转化为一元二次方程和二次函数的问题.

（1）根据题意知，$y=\frac{1200-20x}{15×2}=-\frac{2}{3}x+40$，
故$y$与$x$之间的函数关系式为$y=-\frac{2}{3}x+40$；
$(2)$根据题意得，$S=x(-\frac{2}{3}x+40)=-\frac{2}{3}{x^2}+40x$，
当$S=576$时，$-\frac{2}{3}{x^2}+40x=546$，
解这个方程，得$x_{1}=21$，$x_{2}=39$，
$\because x\leqslant 24$，
$\therefore$当$S=546$时，$x=21$；
$(3)$小明计算的不对，
理由：$\because S=-\frac{2}{3}{x^2}+40x=-\frac{2}{3}{(x-30)^2}+600$，
$\because a=-\frac{2}{3}＜0$，
$\therefore$当$x\leqslant 24$时，$S$随$x$的增大而增大.
$\therefore$当$x=24$时，$S$最大，此时$S=576 \lt 600$.
$\therefore$小明计算的不对.

$(1)$根据“垂直于墙的长度$=\frac{总费用-平行于墙的总费用}{垂直于墙的单价}\div 2$”可得函数解析式；
$(2)$根据矩形的面积公式列出总面积关于$x$的函数解析式；
$(3)$根据矩形的面积公式列出总面积关于$x$的函数解析式，配方成顶点式后利用二次函数的性质求解可得.

【点评】

本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是将实际问题转化为一元二次方程和二次函数的问题.