$\left(1\right)\because$将$OA$绕点$O$顺时针旋转$60^{\circ}$得到$OB$，
$\therefore OB=OA=2$，$\angle AOB=60^{\circ}$，
过点$B$向$x$轴作垂线，交$x$轴于点$C$，

$\therefore \angle BOC=30^{\circ}$，
$\therefore BC=1$，
$\because$在$Rt\triangle BOC$中，$OB=2$，
$\therefore OC=\sqrt{3}$，
$\therefore B(\sqrt{3}，1)$，
$\because$点$B$在反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象，
$\therefore k=\sqrt{3}$；
$(2)$存在.理由如下：
$\because A\left(0,2\right)$，
$\therefore$设直线$AB$的表达式为：$y=kx+2$，
将$B(\sqrt{3}，1)$代入$y=kx+2$得：$\sqrt{3}k+2=1$，
解得：$k=-\frac{\sqrt{3}}{3}$，

$\because$四边形$ABPQ$为矩形，
$\therefore AQ\bot AB$，
则直线$AQ$表达式中的$k$知为：$k_{AQ}=\sqrt{3}$，
则$l_{AQ}：y=\sqrt{3}x+2$，
由$\sqrt{3}x+2=\frac{\sqrt{3}}{x}$得，$\sqrt{3}x^2+2x-\sqrt{3}=0$，
解得：$x=\frac{\sqrt{3}}{3}$或$-\sqrt{3}$，
故点$Q$的坐标为：$Q_1(\frac{\sqrt{3}}{3}，3)Q_2(-\sqrt{3}，-1)$.

$\left(1\right)\because$将$OA$绕点$O$顺时针旋转$60^{\circ}$得到$OB$，
$\therefore OB=OA=2$，$\angle AOB=60^{\circ}$，
过点$B$向$x$轴作垂线，交$x$轴于点$C$，

$\therefore \angle BOC=30^{\circ}$，
$\therefore BC=1$，
$\because$在$Rt\triangle BOC$中，$OB=2$，
$\therefore OC=\sqrt{3}$，
$\therefore B(\sqrt{3}，1)$，
$\because$点$B$在反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象，
$\therefore k=\sqrt{3}$；
$(2)$存在.理由如下：
$\because A\left(0,2\right)$，
$\therefore$设直线$AB$的表达式为：$y=kx+2$，
将$B(\sqrt{3}，1)$代入$y=kx+2$得：$\sqrt{3}k+2=1$，
解得：$k=-\frac{\sqrt{3}}{3}$，

$\because$四边形$ABPQ$为矩形，
$\therefore AQ\bot AB$，
则直线$AQ$表达式中的$k$知为：$k_{AQ}=\sqrt{3}$，
则$l_{AQ}：y=\sqrt{3}x+2$，
由$\sqrt{3}x+2=\frac{\sqrt{3}}{x}$得，$\sqrt{3}x^2+2x-\sqrt{3}=0$，
解得：$x=\frac{\sqrt{3}}{3}$或$-\sqrt{3}$，
故点$Q$的坐标为：$Q_1(\frac{\sqrt{3}}{3}，3)Q_2(-\sqrt{3}，-1)$.