教室里的饮水机接通电源就进入自动程序,开机加热时每分钟上升$10^{\circ}\mathrm{C}$,加热到$100^{\circ}\mathrm{C}$停止加热,水温开始下降,此时水温$y\left(^{\circ}\mathrm{C}\right)$与开机后用时$x\left(\min \right)$成反比例关系,直至水温降至$30^{\circ}\mathrm{C}$,饮水机关机,饮水机关机后即刻自动开机,重复上述自动程序.若在水温为$30^{\circ}\mathrm{C}$时接通电源,水温$y\left(^{\circ}\mathrm{C}\right)$与时间$x\left(\min \right)$的关系如图所示:
$(1)$分别写出水温上升和下降阶段$y$与$x$之间的函数关系式；
$(2)$怡萱同学想喝高于$50^{\circ}\mathrm{C}$的水,请问她最多需要等待多长时间?