设$a$的值为$x$，则$b$的值为$x-2$，$c$的值为$x-6$，
①当$x+x-2+x-6=x$时，
解得：$x=4$，
$\therefore a=4$，$b=2$，$c=-2$，
$\therefore abc \lt 0$，符合题意；
故$a$的值为：$4$.
②当$x+x-2+x-6=x-2$时，
解得：$x=3$，
$\therefore a=3$，$b=1$，$c=-3$，
$\therefore abc \lt 0$，符合题意；
故$a$的值为：$3$.
③当$x+x-2+x-6=x-6$时，
解得：$x=1$，
$\therefore a=1$，$b=-1$，$c=-5$；
$\therefore abc \gt 0$，不符合题意；
综上所述：$a$的值为$4$或$3$.
故答案为：$4$或$3$.

设$a$的值为$x$，则$b$的值为$x-2$，$c$的值为$x-6$，
①当$x+x-2+x-6=x$时，
解得：$x=4$，
$\therefore a=4$，$b=2$，$c=-2$，
$\therefore abc \lt 0$，符合题意；
故$a$的值为：$4$.
②当$x+x-2+x-6=x-2$时，
解得：$x=3$，
$\therefore a=3$，$b=1$，$c=-3$，
$\therefore abc \lt 0$，符合题意；
故$a$的值为：$3$.
③当$x+x-2+x-6=x-6$时，
解得：$x=1$，
$\therefore a=1$，$b=-1$，$c=-5$；
$\therefore abc \gt 0$，不符合题意；
综上所述：$a$的值为$4$或$3$.
故答案为：$4$或$3$.