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八年级数学solution一般
题目
如图,长方形纸片ABCDABCD的长AD=9cmAD=9cm,宽AB=3cmAB=3cm,将它折叠,使点DD与点BB重合.(注:该长方形的性质:两组对边平行且相等,每个内角都是90∘)90^{\circ})
(1)(1)求证:△BEF\triangle BEF是等腰三角形；
(2)(2)求折痕EFEF的长.
知识点：翻折变换（折叠问题）章节：未标注

答案与解析

答案

(1)(1)证明：∵\because四边形ABCDABCD是长方形，
∴BC\therefore BC∥ADAD，
∴∠BFE=∠DEF\therefore \angle BFE=\angle DEF，
由折叠得∠BEF=∠DEF\angle BEF=\angle DEF，
∴∠BFE=∠BEF\therefore \angle BFE=\angle BEF，
∴BE=BF\therefore BE=BF，
∴△BEF\therefore \triangle BEF是等腰三角形.
(2)(2)作EH⊥BFEH\bot BF于点HH，则∠BHE=∠CHE=90∘\angle BHE=\angle CHE=90^{\circ}，
∵∠A=90∘\because \angle A=90^{\circ}，AD=9cmAD=9cm，AB=3cmAB=3cm，BE=DEBE=DE，
∴AB2+AE2=BE2\therefore AB^{2}+AE^{2}=BE^{2}，且AE=9−DE=9−BEAE=9-DE=9-BE，
∴32+(9−BE)2=BE2\therefore 3^{2}+\left(9-BE\right)^{2}=BE^{2}，
解得BE=5BE=5，
∴BE=BF=5cm\therefore BE=BF=5cm，AE=9−5=4(cm)AE=9-5=4\left(cm\right)，
∵AD\because AD∥BC,ABBC,AB∥EHEH，
∴EH=AB=3cm\therefore EH=AB=3cm，BH=AE=4cmBH=AE=4cm，
∴FH=BF−BH=5−4=1(cm)\therefore FH=BF-BH=5-4=1\left(cm\right)，
∴EF=EH2+FH2=32+12=10(cm)\therefore EF=\sqrt{E{H}^{2}+F{H}^{2}}=\sqrt{{3}^{2}+{1}^{2}}=\sqrt{10}(cm)，
∴\therefore折痕EFEF的长为10cm\sqrt{10}cm.

解析

(1)(1)证明：∵\because四边形ABCDABCD是长方形，
∴BC\therefore BC∥ADAD，
∴∠BFE=∠DEF\therefore \angle BFE=\angle DEF，
由折叠得∠BEF=∠DEF\angle BEF=\angle DEF，
∴∠BFE=∠BEF\therefore \angle BFE=\angle BEF，
∴BE=BF\therefore BE=BF，
∴△BEF\therefore \triangle BEF是等腰三角形.
(2)(2)作EH⊥BFEH\bot BF于点HH，则∠BHE=∠CHE=90∘\angle BHE=\angle CHE=90^{\circ}，
∵∠A=90∘\because \angle A=90^{\circ}，AD=9cmAD=9cm，AB=3cmAB=3cm，BE=DEBE=DE，
∴AB2+AE2=BE2\therefore AB^{2}+AE^{2}=BE^{2}，且AE=9−DE=9−BEAE=9-DE=9-BE，
∴32+(9−BE)2=BE2\therefore 3^{2}+\left(9-BE\right)^{2}=BE^{2}，
解得BE=5BE=5，
∴BE=BF=5cm\therefore BE=BF=5cm，AE=9−5=4(cm)AE=9-5=4\left(cm\right)，
∵AD\because AD∥BC,ABBC,AB∥EHEH，
∴EH=AB=3cm\therefore EH=AB=3cm，BH=AE=4cmBH=AE=4cm，
∴FH=BF−BH=5−4=1(cm)\therefore FH=BF-BH=5-4=1\left(cm\right)，
∴EF=EH2+FH2=32+12=10(cm)\therefore EF=\sqrt{E{H}^{2}+F{H}^{2}}=\sqrt{{3}^{2}+{1}^{2}}=\sqrt{10}(cm)，
∴\therefore折痕EFEF的长为10cm\sqrt{10}cm.

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