（1）根据题意得$AE=AG$，$\angle BAE=\angle DAG$，$BE=DG$，

$\because \angle BAD=90^{\circ}$，$\angle EAF=45^{\circ}$，

$\therefore \angle BAE+\angle DAF=45^{\circ}$，

$\therefore \angle DAG+\angle DAF=45^{\circ}$，

即$\angle EAF=\angle GAF=45^{\circ}$，

在$\triangle EAF$和$\triangle GAF$中，

$\left\{\begin{array}{l}AF=AF\\\angle EAF=\angle GAF\\ AE=AG\end{array}\right.$，

$\therefore \triangle EAF$≌$\triangle GAF\left(SAS\right)$，

$\therefore EF=GF$，

$\because BE=DG$，

$\therefore EF=GF=BE+DF$；

$(2)$如图，把$\triangle ABE$绕$A$点旋转到$\triangle ADG$，使$AB$与$AD$重合，

则$AE=AG$，$\angle B=\angle ADG$，$\angle BAE=\angle DAG$，

$\because \angle B+\angle ADC=180^{\circ}$，

$\therefore \angle ADC+\angle ADG=180^{\circ}$，

$\therefore F$、$D$、$G$在一条直线上，

$\because \angle BAD=90^{\circ}$，$\angle EAF=45^{\circ}$，

$\therefore \angle BAE+\angle DAF=45^{\circ}$，

$\therefore \angle DAG+\angle DAF=45^{\circ}$，

$\therefore \angle EAF=\angle GAF=45^{\circ}$，

在$\triangle EAF$和$\triangle GAF$中，

$\left\{\begin{array}{l}AF=AF\\\angle EAF=\angle GAF\\ AE=AG\end{array}\right.$，

$\therefore \triangle EAF$≌$\triangle GAF\left(SAS\right)$，

$\therefore EF=GF$，

$\because BE=DG$，

$\therefore EF=GF=BE+DF$；

故答案为：$\angle B+\angle ADC=180^{\circ}$；

$(3)\because \triangle ABC$中，$AB=AC=2\sqrt{2}$，$\angle BAC=90^{\circ}$，

$\therefore \angle ABC=\angle C=45^{\circ}$，

由勾股定理得$BC=\sqrt{A{B}^{2}+A{C}^{2}}=4$，

如图，把$\triangle AEC$绕$A$点旋转到$\triangle AFB$，使$AB$和$AC$重合，连接$DF$.

则$AF=AE$，$\angle FBA=\angle C=45^{\circ}$，$\angle BAF=\angle CAE$，

$\because \angle DAE=45^{\circ}$，

$\therefore \angle FAD=\angle FAB+\angle BAD=\angle CAE+\angle BAD=\angle BAC-\angle DAE=90^{\circ}-45^{\circ}=45^{\circ}$，

$\therefore \angle FAD=\angle DAE=45^{\circ}$，

在$\triangle FAD$和$\triangle EAD$中，

$\left\{\begin{array}{l}AD=AD\\\angle FAD=\angle EAD\\ AF=AE\end{array}\right.$，

$\therefore \triangle FAD$≌$\triangle EAD\left(SAS\right)$，

$\therefore DF=DE$，

设$DE=x$，则$DF=x$，

$\because BD=1$，

$\therefore BF=CE=4-1-x=3-x$，

$\because \angle FBA=45^{\circ}$，$\angle ABC=45^{\circ}$，

$\therefore \angle FBD=90^{\circ}$，

由勾股定理得$DF^{2}=BF^{2}+BD^{2}$，

即$x^{2}=\left(3-x\right)^{2}+1^{2}$，

解得$x=\frac{5}{3}$，

即$DE=\frac{5}{3}$.

（1）根据题意得$AE=AG$，$\angle BAE=\angle DAG$，$BE=DG$，

$\because \angle BAD=90^{\circ}$，$\angle EAF=45^{\circ}$，

$\therefore \angle BAE+\angle DAF=45^{\circ}$，

$\therefore \angle DAG+\angle DAF=45^{\circ}$，

即$\angle EAF=\angle GAF=45^{\circ}$，

在$\triangle EAF$和$\triangle GAF$中，

$\left\{\begin{array}{l}AF=AF\\\angle EAF=\angle GAF\\ AE=AG\end{array}\right.$，

$\therefore \triangle EAF$≌$\triangle GAF\left(SAS\right)$，

$\therefore EF=GF$，

$\because BE=DG$，

$\therefore EF=GF=BE+DF$；

$(2)$如图，把$\triangle ABE$绕$A$点旋转到$\triangle ADG$，使$AB$与$AD$重合，

则$AE=AG$，$\angle B=\angle ADG$，$\angle BAE=\angle DAG$，

$\because \angle B+\angle ADC=180^{\circ}$，

$\therefore \angle ADC+\angle ADG=180^{\circ}$，

$\therefore F$、$D$、$G$在一条直线上，

$\because \angle BAD=90^{\circ}$，$\angle EAF=45^{\circ}$，

$\therefore \angle BAE+\angle DAF=45^{\circ}$，

$\therefore \angle DAG+\angle DAF=45^{\circ}$，

$\therefore \angle EAF=\angle GAF=45^{\circ}$，

在$\triangle EAF$和$\triangle GAF$中，

$\left\{\begin{array}{l}AF=AF\\\angle EAF=\angle GAF\\ AE=AG\end{array}\right.$，

$\therefore \triangle EAF$≌$\triangle GAF\left(SAS\right)$，

$\therefore EF=GF$，

$\because BE=DG$，

$\therefore EF=GF=BE+DF$；

故答案为：$\angle B+\angle ADC=180^{\circ}$；

$(3)\because \triangle ABC$中，$AB=AC=2\sqrt{2}$，$\angle BAC=90^{\circ}$，

$\therefore \angle ABC=\angle C=45^{\circ}$，

由勾股定理得$BC=\sqrt{A{B}^{2}+A{C}^{2}}=4$，

如图，把$\triangle AEC$绕$A$点旋转到$\triangle AFB$，使$AB$和$AC$重合，连接$DF$.

则$AF=AE$，$\angle FBA=\angle C=45^{\circ}$，$\angle BAF=\angle CAE$，

$\because \angle DAE=45^{\circ}$，

$\therefore \angle FAD=\angle FAB+\angle BAD=\angle CAE+\angle BAD=\angle BAC-\angle DAE=90^{\circ}-45^{\circ}=45^{\circ}$，

$\therefore \angle FAD=\angle DAE=45^{\circ}$，

在$\triangle FAD$和$\triangle EAD$中，

$\left\{\begin{array}{l}AD=AD\\\angle FAD=\angle EAD\\ AF=AE\end{array}\right.$，

$\therefore \triangle FAD$≌$\triangle EAD\left(SAS\right)$，

$\therefore DF=DE$，

设$DE=x$，则$DF=x$，

$\because BD=1$，

$\therefore BF=CE=4-1-x=3-x$，

$\because \angle FBA=45^{\circ}$，$\angle ABC=45^{\circ}$，

$\therefore \angle FBD=90^{\circ}$，

由勾股定理得$DF^{2}=BF^{2}+BD^{2}$，

即$x^{2}=\left(3-x\right)^{2}+1^{2}$，

解得$x=\frac{5}{3}$，

即$DE=\frac{5}{3}$.