综合与实践
$(1)$问题情境:如图①,在正方形$ABCD$中,已知$AB=AD$,$\angle BAD=90^{\circ}$,点$E$,$F$分别在$BC$,$CD$上,$\angle EAF=45^{\circ}$.把$\triangle ABE$绕点$A$逆时针旋转$90^{\circ}$得到$\triangle ADG$,使$AB$与$AD$重合,则能证得$EF=BE+DF$,请写出推理过程；
$(2)$问题探究:如图②,若$\angle B$,$\angle D$都不是直角,则当$\angle B$与$\angle D$满足数量关系______时,仍有$EF=BE+DF$；
$(3)$拓展应用:如图③,在$\triangle ABC$中,$\angle BAC=90^{\circ}$,$AB=AC$,点$D$,$E$均在边$BC$上,且$\angle DAE=45^{\circ}$.若$AB=2\sqrt{2}$,$BD=1$,求$DE$的长.