把$\left(-4,0\right)$，$\left(-1,9\right)$，$\left(1,5\right)$代入$y=ax^{2}+bx+c$得：
$\left\{\begin{array}{l}16a-4b+c=0\\ a-b+c=9\\ a+b+c=5\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}a=-1\\ b=-2，\\ c=8\end{array}\right.$
$\therefore abc \gt 0$，故①正确；
$\because a=-1$，$b=-2$，$c=8$，
$\therefore y=-x^{2}-2x+8$，
当$y=9$时，$-x^{2}-2x+8=9$，
$\therefore x^{2}+2x+1=0$，
$\because \Delta =2^{2}-4\times 1\times 1=0$，
$\therefore$关于$x$的一元二次方程$ax^{2}+bx+c=9$有两个相等的实数根，故②正确；
$\because$抛物线的对称轴为直线$x=\frac{-3+1}{2}=-1$，
$\therefore$抛物线的顶点坐标为$\left(-1,9\right)$，
又$\because a \lt 0$，
$\therefore$当$x \lt -1$时，$y$随$x$的增大而增大；当$x \gt -1$时，$y$随$x$的增大而减小；当$x=-1$时，函数取最大值$9$，
$\because x=-3$与$x=1$时函数值相等，等于$5$，
$\therefore$当$-4 \lt x \lt 1$时，$y$的取值范围为$0 \lt y\leqslant 9$，故③错误；
$\because \frac{m+(-m-2)}{2}=-1$，
$\therefore$点$(m$，$y_{1})$，$(-m-2$，$y_{2})$关于对称轴$x=-1$对称，
$\therefore y_{1}=y_{2}$，故④正确；
由ax^{2}+\left(b+1\right)x+c \lt 2\ \得$ax^{2}+bx+c \lt -x+2$，即$-x^{2}-2x+8 \lt -x+2$，画函数$\ \ y=-x^{2}-2x+8$和$y=-x+2$图象如下：

由$\left\{\begin{array}{l}y=-x+2\\ y=-x^2-2x+8\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}x_1=2\\ y_1=0\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{x_{2}=-3}\\{y_{2}=5}\end{array}\right.$
$\therefore A\left(2,0\right)$，$B\left(-3,5\right)$，
由图形可得，当$x \lt -3$或$x \gt 2$时，$-x^{2}-2x+8 \lt -x+2$，即$ax^{2}+\left(b+1\right)x+c \lt 2$，故⑤错误；
综上，正确的结论为①②④，
故答案为：①②④.

把$\left(-4,0\right)$，$\left(-1,9\right)$，$\left(1,5\right)$代入$y=ax^{2}+bx+c$得：
$\left\{\begin{array}{l}16a-4b+c=0\\ a-b+c=9\\ a+b+c=5\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}a=-1\\ b=-2，\\ c=8\end{array}\right.$
$\therefore abc \gt 0$，故①正确；
$\because a=-1$，$b=-2$，$c=8$，
$\therefore y=-x^{2}-2x+8$，
当$y=9$时，$-x^{2}-2x+8=9$，
$\therefore x^{2}+2x+1=0$，
$\because \Delta =2^{2}-4\times 1\times 1=0$，
$\therefore$关于$x$的一元二次方程$ax^{2}+bx+c=9$有两个相等的实数根，故②正确；
$\because$抛物线的对称轴为直线$x=\frac{-3+1}{2}=-1$，
$\therefore$抛物线的顶点坐标为$\left(-1,9\right)$，
又$\because a \lt 0$，
$\therefore$当$x \lt -1$时，$y$随$x$的增大而增大；当$x \gt -1$时，$y$随$x$的增大而减小；当$x=-1$时，函数取最大值$9$，
$\because x=-3$与$x=1$时函数值相等，等于$5$，
$\therefore$当$-4 \lt x \lt 1$时，$y$的取值范围为$0 \lt y\leqslant 9$，故③错误；
$\because \frac{m+(-m-2)}{2}=-1$，
$\therefore$点$(m$，$y_{1})$，$(-m-2$，$y_{2})$关于对称轴$x=-1$对称，
$\therefore y_{1}=y_{2}$，故④正确；
由ax^{2}+\left(b+1\right)x+c \lt 2\ \得$ax^{2}+bx+c \lt -x+2$，即$-x^{2}-2x+8 \lt -x+2$，画函数$\ \ y=-x^{2}-2x+8$和$y=-x+2$图象如下：

由$\left\{\begin{array}{l}y=-x+2\\ y=-x^2-2x+8\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}x_1=2\\ y_1=0\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{x_{2}=-3}\\{y_{2}=5}\end{array}\right.$
$\therefore A\left(2,0\right)$，$B\left(-3,5\right)$，
由图形可得，当$x \lt -3$或$x \gt 2$时，$-x^{2}-2x+8 \lt -x+2$，即$ax^{2}+\left(b+1\right)x+c \lt 2$，故⑤错误；
综上，正确的结论为①②④，
故答案为：①②④.