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九年级数学solution一般
题目
已知抛物线y=−12x2+12x+3y=-\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{2}x+3.
(1)(1)图象的开口方向为______,对称轴是______,顶点坐标是______.
(2)(2)分别求出抛物线与xx轴,yy轴的交点坐标.
(3)(3)在给出的平面直角坐标系中,作出(1)(2)\left(1\right)\left(2\right)中的点和线,并画出抛物线的大致图象.
(4)(4)观察图象:当−12x2+12x+3⩾0-\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{2}x+3\geqslant 0时,xx的取值范围为______；当−3⩽x⩽2-3\leqslant x\leqslant 2时,yy的最小值为______,最大值为______.
知识点：二次函数、二次函数的性质I章节：未标注

答案与解析

答案

(1)y=−12x2+12x+3=−12(x−12)2+258\left(1\right)y=-\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{2}x+3=-\frac{1}{2}(x-\frac{1}{2})^{2}+\frac{25}{8}，
∵a=−12<0\because a=-\frac{1}{2} \lt 0，
∴\therefore图象开口方向向下，对称轴为直线x=12x=\frac{1}{2}，顶点坐标为（12\frac{1}{2}，258)\frac{25}{8}).
故答案为：向下，直线x=12x=\frac{1}{2}，（12\frac{1}{2}，258)\frac{25}{8}).
(2)(2)令y=0y=0，即−12(x−12)2+258=0-\frac{1}{2}(x-\frac{1}{2})^{2}+\frac{25}{8}=0，解得x=3x=3，或x=−2x=-2，
令x=0x=0，则y=−12(0−12)2+258=3y=-\frac{1}{2}(0-\frac{1}{2})^{2}+\frac{25}{8}=3，
∴\therefore抛物线与xx轴交点坐标为(3,0)\left(3,0\right)或(−2,0)\left(-2,0\right)，与yy轴交点坐标为(0,3)\left(0,3\right).
(3)(3)描点，连线，函数图象如图所示，

(4)(4)由图象可知，当−12x2+12x+3⩾0-\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{2}x+3\geqslant 0时，xx的取值范围为−2⩽x⩽3-2\leqslant x\leqslant 3；当−3⩽x⩽2-3\leqslant x\leqslant 2时，yy的最小值为−3-3，最大值为258\frac{25}{8}.
故答案为：−2⩽x⩽3-2\leqslant x\leqslant 3，−3-3，258\frac{25}{8}.

解析

(1)y=−12x2+12x+3=−12(x−12)2+258\left(1\right)y=-\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{2}x+3=-\frac{1}{2}(x-\frac{1}{2})^{2}+\frac{25}{8}，
∵a=−12<0\because a=-\frac{1}{2} \lt 0，
∴\therefore图象开口方向向下，对称轴为直线x=12x=\frac{1}{2}，顶点坐标为（12\frac{1}{2}，258)\frac{25}{8}).
故答案为：向下，直线x=12x=\frac{1}{2}，（12\frac{1}{2}，258)\frac{25}{8}).
(2)(2)令y=0y=0，即−12(x−12)2+258=0-\frac{1}{2}(x-\frac{1}{2})^{2}+\frac{25}{8}=0，解得x=3x=3，或x=−2x=-2，
令x=0x=0，则y=−12(0−12)2+258=3y=-\frac{1}{2}(0-\frac{1}{2})^{2}+\frac{25}{8}=3，
∴\therefore抛物线与xx轴交点坐标为(3,0)\left(3,0\right)或(−2,0)\left(-2,0\right)，与yy轴交点坐标为(0,3)\left(0,3\right).
(3)(3)描点，连线，函数图象如图所示，

(4)(4)由图象可知，当−12x2+12x+3⩾0-\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{2}x+3\geqslant 0时，xx的取值范围为−2⩽x⩽3-2\leqslant x\leqslant 3；当−3⩽x⩽2-3\leqslant x\leqslant 2时，yy的最小值为−3-3，最大值为258\frac{25}{8}.
故答案为：−2⩽x⩽3-2\leqslant x\leqslant 3，−3-3，258\frac{25}{8}.

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