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九年级数学solution一般
题目
如图,在Rt△ABCRt\triangle ABC中,∠B=90∘\angle B=90^{\circ},AB=6AB=6,BC=8BC=8,点PP从点AA出发沿线路AB−BCAB-BC做匀速运动,点QQ从ACAC的中点DD同时出发沿线路DC−CBDC-CB做匀速运动逐步靠近点PP,设PP,QQ两点运动的速度分别为每秒11个单位长度、每秒xx个单位长度,它们在tt秒后于BCBC边上的某一点EE相遇.若以DD,EE,CC为顶点的三角形与△ABC\triangle ABC相似,求xx与tt的值.
知识点：相似三角形的判定与性质章节：未标注

答案与解析

答案

由勾股定理得，AC=AB2+BC2=10AC=\sqrt{A{B}^{2}+B{C}^{2}}=10，
∴AD=CD=5\therefore AD=CD=5.
∵∠ACB=∠DCE\because \angle ACB=\angle DCE，
∴\therefore以DD，EE，CC为顶点的三角形与△ABC\triangle ABC相似，分△DEC\triangle DEC∽△ABC,△EDC\triangle ABC,\triangle EDC∽△ABC\triangle ABC两种情况求解；
①当△DEC\triangle DEC∽△ABC\triangle ABC时,DE,DE∥ABAB，如图，

∴DEAB=CECB=CDCA\therefore \frac{DE}{AB}=\frac{CE}{CB}=\frac{CD}{CA}，
∵AB=6\because AB=6，BC=8BC=8，点DD是ACAC的中点，
∴DE6=CE8=12\therefore \frac{DE}{6}=\frac{CE}{8}=\frac{1}{2}，
解得：DE=3DE=3，CE=4CE=4，
由题意知，点PP的路程为AB+BE=tAB+BE=t，点QQ的路程CD+CE=txCD+CE=tx，
∴BE=t−6=4\therefore BE=t-6=4，CE=tx−5=4CE=tx-5=4，
解得：t=10t=10，x=0.9x=0.9；
②当△EDC\triangle EDC∽△ABC\triangle ABC时，DE⊥ACDE\bot AC，如图，

∴DEAB=CEAC=CDCB\therefore \frac{DE}{AB}=\frac{CE}{AC}=\frac{CD}{CB}，
∵AB=6\because AB=6，BC=8BC=8，CD=5CD=5，AC=10AC=10，
∴DE6=CE10=58\therefore \frac{DE}{6}=\frac{CE}{10}=\frac{5}{8}，
解得：DE=153，CE=254DE=\frac{15}{3}，CE=\frac{25}{4}，
∴BE=8−CE=74\therefore BE=8-CE=\frac{7}{4}，
由题意知，点PP的路程为AB+BE=tAB+BE=t，点QQ的路程CD+CE=txCD+CE=tx，
∴BE=t−6=74\therefore BE=t-6=\frac{7}{4}，CE=tx−5=254CE=tx-5=\frac{25}{4}，
解得，t=314t=\frac{31}{4}，x=4531x=\frac{45}{31}；
综上所述，以DD，EE，CC为顶点的三角形与△ABC\triangle ABC相似时，t=10t=10，x=0.9x=0.9或t=314t=\frac{31}{4}，x=4531x=\frac{45}{31}.

解析

由勾股定理得，AC=AB2+BC2=10AC=\sqrt{A{B}^{2}+B{C}^{2}}=10，
∴AD=CD=5\therefore AD=CD=5.
∵∠ACB=∠DCE\because \angle ACB=\angle DCE，
∴\therefore以DD，EE，CC为顶点的三角形与△ABC\triangle ABC相似，分△DEC\triangle DEC∽△ABC,△EDC\triangle ABC,\triangle EDC∽△ABC\triangle ABC两种情况求解；
①当△DEC\triangle DEC∽△ABC\triangle ABC时,DE,DE∥ABAB，如图，

∴DEAB=CECB=CDCA\therefore \frac{DE}{AB}=\frac{CE}{CB}=\frac{CD}{CA}，
∵AB=6\because AB=6，BC=8BC=8，点DD是ACAC的中点，
∴DE6=CE8=12\therefore \frac{DE}{6}=\frac{CE}{8}=\frac{1}{2}，
解得：DE=3DE=3，CE=4CE=4，
由题意知，点PP的路程为AB+BE=tAB+BE=t，点QQ的路程CD+CE=txCD+CE=tx，
∴BE=t−6=4\therefore BE=t-6=4，CE=tx−5=4CE=tx-5=4，
解得：t=10t=10，x=0.9x=0.9；
②当△EDC\triangle EDC∽△ABC\triangle ABC时，DE⊥ACDE\bot AC，如图，

∴DEAB=CEAC=CDCB\therefore \frac{DE}{AB}=\frac{CE}{AC}=\frac{CD}{CB}，
∵AB=6\because AB=6，BC=8BC=8，CD=5CD=5，AC=10AC=10，
∴DE6=CE10=58\therefore \frac{DE}{6}=\frac{CE}{10}=\frac{5}{8}，
解得：DE=153，CE=254DE=\frac{15}{3}，CE=\frac{25}{4}，
∴BE=8−CE=74\therefore BE=8-CE=\frac{7}{4}，
由题意知，点PP的路程为AB+BE=tAB+BE=t，点QQ的路程CD+CE=txCD+CE=tx，
∴BE=t−6=74\therefore BE=t-6=\frac{7}{4}，CE=tx−5=254CE=tx-5=\frac{25}{4}，
解得，t=314t=\frac{31}{4}，x=4531x=\frac{45}{31}；
综上所述，以DD，EE，CC为顶点的三角形与△ABC\triangle ABC相似时，t=10t=10，x=0.9x=0.9或t=314t=\frac{31}{4}，x=4531x=\frac{45}{31}.

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