（1）①$\because$点$Q$的速度与点$P$的速度相等，都是$3cm/s$，
$\therefore$经$1s$后，$BP=3cm$，$CQ=3cm$，
$\therefore BP=CQ=3cm$，
$\because BC=8cm$，
$\therefore CP=BC-BP=5cm$，
$\because$点$D$为$AB$的中点，$AB=AC=10cm$，
$\therefore BD=5cm$，
$\therefore BD=CP=5cm$，
在$\triangle BPD$和$\triangle CQP$中，
$\left\{\begin{array}{l}{BD=CP}\\{∠B=∠C}\\{BP=CQ}\end{array}\right.$，
$\triangle BPD$≌$\triangle CQP\left(SAS\right)$，
$(2)\because \triangle BPD$≌$\triangle CPQ$，
$\therefore BP=CP$，$BD=CQ$，
$\therefore$点$P$是$BC$的中点，$BD=5cm$，
$\therefore BP=CP=4cm$，
$\therefore$点$P$的运动时间为：$4\div 3=\frac{4}{3}(s)$，
$\therefore$点$Q$运动的时间为$\frac{4}{3}s$，
$\therefore$点$Q$运动的速度是：$5÷\frac{4}{3}=\frac{15}{4}(cm/s)$，
$\therefore$当点$Q$的速度为$\frac{15}{4}cm/s$时，能够使$\triangle BPD$≌$\triangle CPQ$；
$(3)$设经过$x s$时，点$Q$第一次追上点$P$.
依题意得：$5x-3x=2\times 10$，
解得：$x=10$，
此时点$P$运动的路程为：$3x=30cm$，
$\because \triangle ABC$的周长为：$10+10+8=28\left(cm\right)$，$30=28+2$，
$\therefore$点$Q$第一次在$\triangle ABC$的$BC$边上追上点$P$.
答：经过$10s$，点$Q$第一次在$BC$边上追上点$P$.

（1）①$\because$点$Q$的速度与点$P$的速度相等，都是$3cm/s$，
$\therefore$经$1s$后，$BP=3cm$，$CQ=3cm$，
$\therefore BP=CQ=3cm$，
$\because BC=8cm$，
$\therefore CP=BC-BP=5cm$，
$\because$点$D$为$AB$的中点，$AB=AC=10cm$，
$\therefore BD=5cm$，
$\therefore BD=CP=5cm$，
在$\triangle BPD$和$\triangle CQP$中，
$\left\{\begin{array}{l}{BD=CP}\\{∠B=∠C}\\{BP=CQ}\end{array}\right.$，
$\triangle BPD$≌$\triangle CQP\left(SAS\right)$，
$(2)\because \triangle BPD$≌$\triangle CPQ$，
$\therefore BP=CP$，$BD=CQ$，
$\therefore$点$P$是$BC$的中点，$BD=5cm$，
$\therefore BP=CP=4cm$，
$\therefore$点$P$的运动时间为：$4\div 3=\frac{4}{3}(s)$，
$\therefore$点$Q$运动的时间为$\frac{4}{3}s$，
$\therefore$点$Q$运动的速度是：$5÷\frac{4}{3}=\frac{15}{4}(cm/s)$，
$\therefore$当点$Q$的速度为$\frac{15}{4}cm/s$时，能够使$\triangle BPD$≌$\triangle CPQ$；
$(3)$设经过$x s$时，点$Q$第一次追上点$P$.
依题意得：$5x-3x=2\times 10$，
解得：$x=10$，
此时点$P$运动的路程为：$3x=30cm$，
$\because \triangle ABC$的周长为：$10+10+8=28\left(cm\right)$，$30=28+2$，
$\therefore$点$Q$第一次在$\triangle ABC$的$BC$边上追上点$P$.
答：经过$10s$，点$Q$第一次在$BC$边上追上点$P$.