已知$\triangle ABC$和$\triangle ADE$是一对共顶点的等腰直角三角形,$\angle EAD=\angle CAB=90^{\circ}$,连接$CE$,$BD$.

$(1)$如图$1$,求证:$\triangle ACE$≌$\triangle ABD$；
$(2)$如图$2$,点$B$在线段$DE$上（不与端点$D$,$E$重合）,$AE$和$BC$交于点$G$,且$\triangle CGE$为等腰三角形,求$\angle CAG$的度数；
$(3)$如图$3$,若$\angle ABD=90^{\circ}$,点$F$是线段$BC$,$DE$的交点,求证:点$F$是$DE$的中点.