$(1)$证明：$\because \triangle ABC$和$\triangle ADE$是等腰直角三角形，
$\therefore AE=AD$，$AC=AB$，$\angle BAC=\angle DAE=90^{\circ}$，
$\therefore \angle BAC-\angle DAC=\angle DAE-\angle DAC$，
即$\angle BAD=\angle CAE$，
在$\triangle ACE$和$\triangle ABD$中，
$\left\{\begin{array}{l}{AE=AD}\\{∠EAC=∠DAB}\\{AC=AB}\end{array}\right.$，
$\therefore \triangle ACE$≌$\triangle ABD\left(SAS\right)$；
$(2)$$\because \because \triangle ABC$和$\triangle ADE$是等腰直角三角形，
$\therefore \angle ACB=45^{\circ}$，$\angle D=45^{\circ}$，
$\because \triangle ACE$≌$\triangle ABD$，
$\therefore \angle CEA=\angle D=45^{\circ}$；
①当$EC=EG$时，$\angle CGE=\frac{1}{2}(180^{\circ}-45^{\circ})=67.5^{\circ}$，
$\therefore \angle CAG=\angle CGE-\angle ACG=67.5^{\circ}-45^{\circ}=22.5^{\circ}$；
②当$GC=GE$时，$\angle CGE=180^{\circ}-45^{\circ}-45^{\circ}=90^{\circ}$，
$\therefore \angle CAG=\angle CGE-\angle ACG=90^{\circ}-45^{\circ}=45^{\circ}$；
③当$CE=CG$时，$\angle CGE=\angle CEG=45^{\circ}$，与题意不符，
$\because \angle CGE=\angle ACG+\angle CAG=45^{\circ}+\angle CAG \gt 45^{\circ}$.
综上所述，$\angle CAG$的度数为$22.5^{\circ}$或$45^{\circ}$；
$(3)$证明：过点$D$作$DH$∥$AB$，交$BC$于$H$，

$\because \triangle ACE$≌$\triangle ABD$，
$\therefore BD=EC$，$\angle ECA=\angle ABD=\angle CAB=90^{\circ}$，
$\therefore EC$∥$AB$∥$DH$，
$\therefore \angle FDH=\angle FEC$，$\angle HDB=90^{\circ}$，
又$\because \angle ABC=45^{\circ}$，
$\therefore \angle HBD=\angle DHB=45^{\circ}$，
$\therefore HD=BD$，
$\therefore HD=EC$，$\angle CFE=\angle HFD$，$\angle FDH=\angle FEC$，
$\therefore \triangle ECF$≌$\triangle DHF\left(AAS\right)$，
$\therefore EF=DF$，
$\therefore F$为$DE$的中点.

$(1)$证明：$\because \triangle ABC$和$\triangle ADE$是等腰直角三角形，
$\therefore AE=AD$，$AC=AB$，$\angle BAC=\angle DAE=90^{\circ}$，
$\therefore \angle BAC-\angle DAC=\angle DAE-\angle DAC$，
即$\angle BAD=\angle CAE$，
在$\triangle ACE$和$\triangle ABD$中，
$\left\{\begin{array}{l}{AE=AD}\\{∠EAC=∠DAB}\\{AC=AB}\end{array}\right.$，
$\therefore \triangle ACE$≌$\triangle ABD\left(SAS\right)$；
$(2)$$\because \because \triangle ABC$和$\triangle ADE$是等腰直角三角形，
$\therefore \angle ACB=45^{\circ}$，$\angle D=45^{\circ}$，
$\because \triangle ACE$≌$\triangle ABD$，
$\therefore \angle CEA=\angle D=45^{\circ}$；
①当$EC=EG$时，$\angle CGE=\frac{1}{2}(180^{\circ}-45^{\circ})=67.5^{\circ}$，
$\therefore \angle CAG=\angle CGE-\angle ACG=67.5^{\circ}-45^{\circ}=22.5^{\circ}$；
②当$GC=GE$时，$\angle CGE=180^{\circ}-45^{\circ}-45^{\circ}=90^{\circ}$，
$\therefore \angle CAG=\angle CGE-\angle ACG=90^{\circ}-45^{\circ}=45^{\circ}$；
③当$CE=CG$时，$\angle CGE=\angle CEG=45^{\circ}$，与题意不符，
$\because \angle CGE=\angle ACG+\angle CAG=45^{\circ}+\angle CAG \gt 45^{\circ}$.
综上所述，$\angle CAG$的度数为$22.5^{\circ}$或$45^{\circ}$；
$(3)$证明：过点$D$作$DH$∥$AB$，交$BC$于$H$，

$\because \triangle ACE$≌$\triangle ABD$，
$\therefore BD=EC$，$\angle ECA=\angle ABD=\angle CAB=90^{\circ}$，
$\therefore EC$∥$AB$∥$DH$，
$\therefore \angle FDH=\angle FEC$，$\angle HDB=90^{\circ}$，
又$\because \angle ABC=45^{\circ}$，
$\therefore \angle HBD=\angle DHB=45^{\circ}$，
$\therefore HD=BD$，
$\therefore HD=EC$，$\angle CFE=\angle HFD$，$\angle FDH=\angle FEC$，
$\therefore \triangle ECF$≌$\triangle DHF\left(AAS\right)$，
$\therefore EF=DF$，
$\therefore F$为$DE$的中点.