D

$\because$关于$x$的一元二次方程$ax^{2}+bx+\frac{1}{2}=0$有一个根是$-1$，
$\therefore$二次函数$y=ax^{2}+bx+\frac{1}{2}$的图象过点$\left(-1,0\right)$，
$\therefore a-b+\frac{1}{2}=0$，
$\therefore b=a+\frac{1}{2}$，
而$t=2a+b$，
$\therefore t=2a+a+\frac{1}{2}=3a+\frac{1}{2}$，
$\because$二次函数$y=ax^{2}+bx+\frac{1}{2}$的图象的顶点在第一象限，
$\therefore a \lt 0$，$\Delta =b^{2}-4ac=a^{2}+\frac{1}{4}+a-2a=(a-\frac{1}{2})^{2}\geqslant 0$，$-\frac{b}{2a} \gt 0$，
$\therefore b \gt 0$，
$\therefore a+\frac{1}{2} \gt 0$，
$\therefore a \gt -\frac{1}{2}$，
$\therefore -\frac{1}{2} \lt a \lt 0$，
$\therefore -1 \lt 3a+\frac{1}{2} \lt \frac{1}{2}$，
$\therefore -1 \lt t \lt \frac{1}{2}$，
故选：$D$.