B

$A$.原方程可化简为$x=0$，
$\because x=0$是一元一次方程，
$\therefore$原方程不是一元二次方程，选项$A$不符合题意；
$B$.方程$x^{2}=0$是一元二次方程，选项$B$符合题意；
$C$.当$a=0$时，二次项系数为零，原方程不是一元二次方程，选项$C$不符合题意；
$D.\because$方程$x=\frac{1}{x}-1$不是整式方程，
$\therefore$方程$x=\frac{1}{x}-1$不是一元二次方程，选项$D$不符合题意.
故选：$B$.