连接$OC$，把$\triangle AOC$绕点$A$顺时针旋转$90^{\circ}$，得到$\triangle AO_{1}F$，连接$O_{1}B$.

设$AO=OC=r$，则$AB=2r$，

$\therefore O_{1}F=OC=r$，

$\therefore$点$F$在以$r$为半径的圆${O}_{1}$上运动，

$\therefore$当点$F$运动至$BO_{1}$的延长线与$\odot O_{1}$的交点处$(B$，$O_{1}$，$F$三点共线）时，$BF$取得最大值，最大值为$BO_{1}+r$.

在$Rt\triangle AO_{1}B$中，

$BO_{1}=\sqrt{A{O}_{1}^{2}+A{B}^{2}}=\sqrt{5}r$，

$\therefore BF$的最大值为（$\sqrt{5}+1)r$，

$\therefore \frac{BF}{AB}$的最大值为$\frac{\sqrt{5}+1}{2}$.

故答案为：$\frac{\sqrt{5}+1}{2}$.

连接$OC$，把$\triangle AOC$绕点$A$顺时针旋转$90^{\circ}$，得到$\triangle AO_{1}F$，连接$O_{1}B$.

设$AO=OC=r$，则$AB=2r$，

$\therefore O_{1}F=OC=r$，

$\therefore$点$F$在以$r$为半径的圆${O}_{1}$上运动，

$\therefore$当点$F$运动至$BO_{1}$的延长线与$\odot O_{1}$的交点处$(B$，$O_{1}$，$F$三点共线）时，$BF$取得最大值，最大值为$BO_{1}+r$.

在$Rt\triangle AO_{1}B$中，

$BO_{1}=\sqrt{A{O}_{1}^{2}+A{B}^{2}}=\sqrt{5}r$，

$\therefore BF$的最大值为（$\sqrt{5}+1)r$，

$\therefore \frac{BF}{AB}$的最大值为$\frac{\sqrt{5}+1}{2}$.

故答案为：$\frac{\sqrt{5}+1}{2}$.