$\left(1\right)$如图$1-1$中，

$\because$四边形$ABCD$是菱形，

$\therefore AD=AB$，

$\because \angle A=60^{\circ}$，

$\therefore \triangle ABD$是等边三角形，

$\therefore AB=DB$，$\angle A=\angle FDB=60^{\circ}$，

在$\triangle DAE$和$\triangle BDF$中，

$\left\{\begin{array}{l}AD=BD\\\angle A=\angle BDF\\AE=DF\end{array}\right.$，

$\therefore \triangle DAE$≌$\triangle BDF$，

$\therefore \angle ADE=\angle DBF$，

$\because \angle EGB=\angle GDB+\angle GBD=\angle GDB+\angle ADE=60^{\circ}$，

$\therefore \angle BGD=180^{\circ}-\angle BGE=120^{\circ}$.

（2）证明：如图$1-2$中，延长$GE$到$M$，使得$GM=GB$，连接$CG$.

$\because \angle MGB=60^{\circ}$，$GM=GB$，

$\therefore \triangle GMB$是等边三角形，

$\therefore \angle MBG=\angle DBC=60^{\circ}$，

$\therefore \angle MBD=\angle GBC$，

在$\triangle MBD$和$\triangle GBC$中，

$\left\{\begin{array}{l}MB=GB\\\angle MBD=\angle GBC\\BD=BC\end{array}\right.$，

$\therefore \triangle MBD$≌$\triangle GBC$，

$\therefore DM=GC$，$\angle M=\angle CGB=60^{\circ}$，

$\because CH\bot BG$，

$\therefore \angle GCH=30^{\circ}$，

$\therefore CG=2GH$，

$\because CG=DM=DG+GM=DG+GB$，

$\therefore 2GH=DG+GB$.

（3）如图$1-2$中，由（2）可知，在$Rt\triangle CGH$中，$CH=4\sqrt {3}$，$\angle GCH=30^{\circ}$，

$\therefore \tan 30^{\circ}=\dfrac{GH}{CH}$，

$\therefore GH=4$，

$\because BG=6$，

$\therefore BH=2$，

在$Rt\triangle BCH$中，$BC=\sqrt {BH^{2}+CH^{2}}=2\sqrt {13}$，

$\because \triangle ABD$，$\triangle BDC$都是等边三角形，

$\therefore S_{四边形ABCD}=2\cdot S_{\triangle BCD}=2\times \dfrac{\sqrt {3}}{4}\times \left(2\sqrt {13}\right)^{2}=26\sqrt {3}$.

$\left(1\right)$如图$1-1$中，

$\because$四边形$ABCD$是菱形，

$\therefore AD=AB$，

$\because \angle A=60^{\circ}$，

$\therefore \triangle ABD$是等边三角形，

$\therefore AB=DB$，$\angle A=\angle FDB=60^{\circ}$，

在$\triangle DAE$和$\triangle BDF$中，

$\left\{\begin{array}{l}AD=BD\\\angle A=\angle BDF\\AE=DF\end{array}\right.$，

$\therefore \triangle DAE$≌$\triangle BDF$，

$\therefore \angle ADE=\angle DBF$，

$\because \angle EGB=\angle GDB+\angle GBD=\angle GDB+\angle ADE=60^{\circ}$，

$\therefore \angle BGD=180^{\circ}-\angle BGE=120^{\circ}$.

（2）证明：如图$1-2$中，延长$GE$到$M$，使得$GM=GB$，连接$CG$.

$\because \angle MGB=60^{\circ}$，$GM=GB$，

$\therefore \triangle GMB$是等边三角形，

$\therefore \angle MBG=\angle DBC=60^{\circ}$，

$\therefore \angle MBD=\angle GBC$，

在$\triangle MBD$和$\triangle GBC$中，

$\left\{\begin{array}{l}MB=GB\\\angle MBD=\angle GBC\\BD=BC\end{array}\right.$，

$\therefore \triangle MBD$≌$\triangle GBC$，

$\therefore DM=GC$，$\angle M=\angle CGB=60^{\circ}$，

$\because CH\bot BG$，

$\therefore \angle GCH=30^{\circ}$，

$\therefore CG=2GH$，

$\because CG=DM=DG+GM=DG+GB$，

$\therefore 2GH=DG+GB$.

（3）如图$1-2$中，由（2）可知，在$Rt\triangle CGH$中，$CH=4\sqrt {3}$，$\angle GCH=30^{\circ}$，

$\therefore \tan 30^{\circ}=\dfrac{GH}{CH}$，

$\therefore GH=4$，

$\because BG=6$，

$\therefore BH=2$，

在$Rt\triangle BCH$中，$BC=\sqrt {BH^{2}+CH^{2}}=2\sqrt {13}$，

$\because \triangle ABD$，$\triangle BDC$都是等边三角形，

$\therefore S_{四边形ABCD}=2\cdot S_{\triangle BCD}=2\times \dfrac{\sqrt {3}}{4}\times \left(2\sqrt {13}\right)^{2}=26\sqrt {3}$.