$\because$四边形$ABCD$是矩形，
$\therefore AD$∥$BC,AD=BC(矩形的对边平行且相等)$，
$\therefore \angle EDO=\angle FBO$，$\angle DEO=\angle BFO$，$\angle DBC=\angle ADB=30^{\circ}(平行线的性质)$。
$\because AE=CF$，
$\therefore ED=BF$，
$\therefore \triangle DEO$≌$\triangle BFO\left(ASA\right)$，
$\therefore OD=OB$，
$\because AB=4$，$\angle ADB=30^{\circ}$，
$\therefore BD=2AB=8$，
$\therefore OB=4$，$AD=BC=\sqrt{B{D}^{2}-A{B}^{2}}=4\sqrt{3}$，
如图，取$OB$中点$M$，连接$MC$，$MG$，过点$M$作$MH\bot BC$于$H$，

$\therefore BM=\frac{1}{2}OB=2$，$\angle MHB=\angle MHC=90^{\circ}$，
$\because \angle DBC=30^{\circ}$，
$\therefore MH=\frac{1}{2}BM=1$，$BH=\sqrt{B{M}^{2}-M{H}^{2}}=\sqrt{{2}^{2}-{1}^{2}}=\sqrt{3}$，
$\therefore CH=4\sqrt{3}-\sqrt{3}=3\sqrt{3}$，
$\therefore MC=\sqrt{M{H}^{2}+C{H}^{2}}=2\sqrt{7}$，
$\because BG\bot EF$，
$\therefore \angle BGO=90^{\circ}$，
$\because M$是$OB$的中点，
$\therefore MG=\frac{1}{2}OB=2$，
$\because CG≥CM-MG=2\sqrt{7}-2$，
当$C$，$M$，$G$三点共线时，$CG$最小值为$2\sqrt{7}-2$，
故答案为：$2\sqrt{7}-2$.

$\because$四边形$ABCD$是矩形，
$\therefore AD$∥$BC,AD=BC(矩形的对边平行且相等)$，
$\therefore \angle EDO=\angle FBO$，$\angle DEO=\angle BFO$，$\angle DBC=\angle ADB=30^{\circ}(平行线的性质)$。
$\because AE=CF$，
$\therefore ED=BF$，
$\therefore \triangle DEO$≌$\triangle BFO\left(ASA\right)$，
$\therefore OD=OB$，
$\because AB=4$，$\angle ADB=30^{\circ}$，
$\therefore BD=2AB=8$，
$\therefore OB=4$，$AD=BC=\sqrt{B{D}^{2}-A{B}^{2}}=4\sqrt{3}$，
如图，取$OB$中点$M$，连接$MC$，$MG$，过点$M$作$MH\bot BC$于$H$，

$\therefore BM=\frac{1}{2}OB=2$，$\angle MHB=\angle MHC=90^{\circ}$，
$\because \angle DBC=30^{\circ}$，
$\therefore MH=\frac{1}{2}BM=1$，$BH=\sqrt{B{M}^{2}-M{H}^{2}}=\sqrt{{2}^{2}-{1}^{2}}=\sqrt{3}$，
$\therefore CH=4\sqrt{3}-\sqrt{3}=3\sqrt{3}$，
$\therefore MC=\sqrt{M{H}^{2}+C{H}^{2}}=2\sqrt{7}$，
$\because BG\bot EF$，
$\therefore \angle BGO=90^{\circ}$，
$\because M$是$OB$的中点，
$\therefore MG=\frac{1}{2}OB=2$，
$\because CG≥CM-MG=2\sqrt{7}-2$，
当$C$，$M$，$G$三点共线时，$CG$最小值为$2\sqrt{7}-2$，
故答案为：$2\sqrt{7}-2$.