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八年级数学solution一般
题目
如图,点EE是∠AOB\angle AOB的平分线上一点,∠MEN\angle MEN的两边分别与∠AOB\angle AOB的两边交于点MM,NN,且∠AOB+∠MEN=180∘\angle AOB+\angle MEN=180^{\circ},EC⊥OAEC\bot OA于点CC,若△OEN\triangle OEN和△OEM\triangle OEM的面积分别为5050和3030,请求出△CEM\triangle CEM的面积.
知识点：平行线的判定、平行线的性质、多边形内角与外角、平行线的判定与性质章节：未标注

答案与解析

答案

过点EE作ED⊥OBED\bot OB于点DD，

∴∠ODE=∠EDN=90∘\therefore \angle ODE=\angle EDN=90^{\circ}，
∴∠OCE=90∘\therefore \angle OCE=90^{\circ}，CE=DECE=DE，
∴∠OCE=∠EDN\therefore \angle OCE=\angle EDN，
∠AOB+∠CED=180∘\angle AOB+\angle CED=180^{\circ}，
∴∠CED=∠MEN\therefore \angle CED=\angle MEN，
∴∠CED−∠MED=∠MEN−∠MED\therefore \angle CED-\angle MED=\angle MEN-\angle MED，
即∠CEM=∠DEN\angle CEM=\angle DEN，
在△CEM\triangle CEM和△DEN\triangle DEN中，
{∠OCE=∠EDNCE=DE∠CEM=∠DEN\left\{\begin{array}{c}∠OCE=∠EDN\\ CE=DE\\∠CEM=∠DEN\end{array}\right.，
∴△CEM\therefore \triangle CEM≌△DEN(ASA)\triangle DEN\left(ASA\right)，
∴S△CEM=S△DEN\therefore S_{\triangle CEM}=S_{\triangle DEN}，
在Rt△COERt\triangle COE和Rt△DOERt\triangle DOE，
{CE=DEOE=OE\left\{\begin{array}{c}CE=DE\\ OE=OE\end{array}\right.，
∴△COE\therefore \triangle COE≌△DOE(HL)\triangle DOE\left(HL\right)，
∴S△COE=S△DOE\therefore S_{\triangle COE}=S_{\triangle DOE}，
设S△CEM=S△DEN=xS_{\triangle CEM}=S_{\triangle DEN}=x，
∴S△COE=x+30\therefore S_{\triangle COE}=x+30，
∴S△DOE=x+30\therefore S_{\triangle DOE}=x+30，
∴x+30+x=50\therefore x+30+x=50，
∴x=10\therefore x=10，
∴S△CEM=10\therefore S_{\triangle CEM}=10.

解析

过点EE作ED⊥OBED\bot OB于点DD，

∴∠ODE=∠EDN=90∘\therefore \angle ODE=\angle EDN=90^{\circ}，
∴∠OCE=90∘\therefore \angle OCE=90^{\circ}，CE=DECE=DE，
∴∠OCE=∠EDN\therefore \angle OCE=\angle EDN，
∠AOB+∠CED=180∘\angle AOB+\angle CED=180^{\circ}，
∴∠CED=∠MEN\therefore \angle CED=\angle MEN，
∴∠CED−∠MED=∠MEN−∠MED\therefore \angle CED-\angle MED=\angle MEN-\angle MED，
即∠CEM=∠DEN\angle CEM=\angle DEN，
在△CEM\triangle CEM和△DEN\triangle DEN中，
{∠OCE=∠EDNCE=DE∠CEM=∠DEN\left\{\begin{array}{c}∠OCE=∠EDN\\ CE=DE\\∠CEM=∠DEN\end{array}\right.，
∴△CEM\therefore \triangle CEM≌△DEN(ASA)\triangle DEN\left(ASA\right)，
∴S△CEM=S△DEN\therefore S_{\triangle CEM}=S_{\triangle DEN}，
在Rt△COERt\triangle COE和Rt△DOERt\triangle DOE，
{CE=DEOE=OE\left\{\begin{array}{c}CE=DE\\ OE=OE\end{array}\right.，
∴△COE\therefore \triangle COE≌△DOE(HL)\triangle DOE\left(HL\right)，
∴S△COE=S△DOE\therefore S_{\triangle COE}=S_{\triangle DOE}，
设S△CEM=S△DEN=xS_{\triangle CEM}=S_{\triangle DEN}=x，
∴S△COE=x+30\therefore S_{\triangle COE}=x+30，
∴S△DOE=x+30\therefore S_{\triangle DOE}=x+30，
∴x+30+x=50\therefore x+30+x=50，
∴x=10\therefore x=10，
∴S△CEM=10\therefore S_{\triangle CEM}=10.

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