【观察发现】
劳动人民在生产生活中创造了很多取材简单又便于操作的方法,正如木匠刘师傅的"木条画直角法".如图①是他用木条快速画一个直角的作法,具体如下:
①一根木条任意摆在纸上,在纸上标记木条两端的位置分别为点$A$,$B$,连接$AB$；
②木条的一端固定在点$B$处,将木条绕点$B$顺时针旋转一定的角度,另一端的落点记为点$C($点$A$,$B$,$C$不在同一条直线上）；
③连接$CB$并延长,将木条沿射线$CB$平移,使木条的一端与点$B$重合,另一端的落点记为点$D$；
④连接$AD$,$AC$,则画出的$\angle DAC$是直角.
【操作体验】
$(1)$如图②,$BA=BC$.请根据"观察发现"中的信息重现刘师傅的画法,画出以点$A$为顶点的直角,记作$\angle DAC$；
【推理论证】
$(2)$在（1）的基础上,尝试揭示此操作的数学原理,求证:$\angle DAC=90^{\circ}$；
【拓展探究】
$(3)$小亮进一步研究发现,用这种方法作直角存在一定的误差,用平时学习的尺规作图的方法可以减少误差.如图③,已知射线$OP$,请用尺规作图的方法在图③中作出一个$\angle POQ$,使得$\angle POQ=90^{\circ}.(保留作图痕迹,不写作法)$