连接$OB$，如图，
设点$B$的坐标为$\left(b,6-b\right)$，
$\because$点$B$在抛物线$y=x^{2}$的第一象限的图象上，
$\therefore 6-b=b^{2}$，
解得$b_{1}=-3(不符合题意，舍去)$，$b_{2}=2$，
当$b=2$时，$6-b=4$，
$\therefore$点$B$的坐标为$\left(2,4\right)$，
$\therefore OB=\sqrt{{2}^{2}+{4}^{2}}=2\sqrt{5}$，
$\because$四边形$OABC$是正方形，
$\therefore OB=AC$，
$\therefore AC=2\sqrt{5}$，
故答案为：$2\sqrt{5}$.

连接$OB$，如图，
设点$B$的坐标为$\left(b,6-b\right)$，
$\because$点$B$在抛物线$y=x^{2}$的第一象限的图象上，
$\therefore 6-b=b^{2}$，
解得$b_{1}=-3(不符合题意，舍去)$，$b_{2}=2$，
当$b=2$时，$6-b=4$，
$\therefore$点$B$的坐标为$\left(2,4\right)$，
$\therefore OB=\sqrt{{2}^{2}+{4}^{2}}=2\sqrt{5}$，
$\because$四边形$OABC$是正方形，
$\therefore OB=AC$，
$\therefore AC=2\sqrt{5}$，
故答案为：$2\sqrt{5}$.