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九年级数学solution一般
题目
一个各数位均不为00的四位自然数A=abcd‾A=\overline{abcd},若满足a+c=6a+c=6,b+d=9b+d=9,则称这个四位数为"陆玖数".例如:四位数22472247,∵2+4=6\because 2+4=6,2+7=92+7=9,∴2247\therefore 2247是"陆玖数".则最大的"陆玖数"和最小的"陆玖数"之和为______；若A=abcd‾A=\overline{abcd}是一个"陆玖数",设F(A)=abcd‾3F\left(A\right)=\frac{\overline{abcd}}{3},且F(A)+2ac‾+3bd‾11\frac{F(A)+2\overline{ac}+3\overline{bd}}{11}是整数,则满足条件的AA的最大值是______.
知识点：有理数、不等式的解集章节：未标注

答案与解析

答案

由题意，最大的“陆玖数”为：58115811，最小的“陆玖数”为：11581158，
∴\therefore和为5811+1158=69695811+1158=6969；
由题意可得：A=abcd‾A=\overline{abcd}是一个“陆玖数”，
∴c=6−a\therefore c=6-a，d=9−bd=9-b，
∴A=1000a+100b+10(6−a)+(9−b)\therefore A=1000a+100b+10\left(6-a\right)+\left(9-b\right)
=990a+99b+69=990a+99b+69，
∴F(A)=990a+99b+693=330a+33b+23\therefore F(A)=\frac{990a+99b+69}{3}=330a+33b+23，
由题意可得：ac‾=10a+6−a=9a+6，bd‾=10b+9−b=9b+9\overline{ac}=10a+6-a=9a+6，\overline{bd}=10b+9-b=9b+9，
∴F(A)+2ac‾+3bd‾11=330a+33b+23+18a+12+27b+2711\therefore \frac{F(A)+2\overline{ac}+3\overline{bd}}{11}=\frac{330a+33b+23+18a+12+27b+27}{11}
=(341a+55b+55)+7a+5b+711=\frac{(341a+55b+55)+7a+5b+7}{11}
=(31a+5b+5)+7a+5b+711=(31a+5b+5)+\frac{7a+5b+7}{11}，
由题意可知：F(A)+2ac‾+3bd‾11\frac{F(A)+2\overline{ac}+3\overline{bd}}{11}是整数，
∴7a+5b+7\therefore 7a+5b+7能被1111整除，
当AA最大时，a=5a=5，
∴35+7+5b\therefore 35+7+5b能被1111整除，
∵1⩽b⩽8\because 1\leqslant b\leqslant 8，
当b=7b=7时，35+7+5×7=7735+7+5\times 7=77能被1111整除，
∴\therefore最大值为57125712.
故答案为：69696969，57125712.

解析

由题意，最大的“陆玖数”为：58115811，最小的“陆玖数”为：11581158，
∴\therefore和为5811+1158=69695811+1158=6969；
由题意可得：A=abcd‾A=\overline{abcd}是一个“陆玖数”，
∴c=6−a\therefore c=6-a，d=9−bd=9-b，
∴A=1000a+100b+10(6−a)+(9−b)\therefore A=1000a+100b+10\left(6-a\right)+\left(9-b\right)
=990a+99b+69=990a+99b+69，
∴F(A)=990a+99b+693=330a+33b+23\therefore F(A)=\frac{990a+99b+69}{3}=330a+33b+23，
由题意可得：ac‾=10a+6−a=9a+6，bd‾=10b+9−b=9b+9\overline{ac}=10a+6-a=9a+6，\overline{bd}=10b+9-b=9b+9，
∴F(A)+2ac‾+3bd‾11=330a+33b+23+18a+12+27b+2711\therefore \frac{F(A)+2\overline{ac}+3\overline{bd}}{11}=\frac{330a+33b+23+18a+12+27b+27}{11}
=(341a+55b+55)+7a+5b+711=\frac{(341a+55b+55)+7a+5b+7}{11}
=(31a+5b+5)+7a+5b+711=(31a+5b+5)+\frac{7a+5b+7}{11}，
由题意可知：F(A)+2ac‾+3bd‾11\frac{F(A)+2\overline{ac}+3\overline{bd}}{11}是整数，
∴7a+5b+7\therefore 7a+5b+7能被1111整除，
当AA最大时，a=5a=5，
∴35+7+5b\therefore 35+7+5b能被1111整除，
∵1⩽b⩽8\because 1\leqslant b\leqslant 8，
当b=7b=7时，35+7+5×7=7735+7+5\times 7=77能被1111整除，
∴\therefore最大值为57125712.
故答案为：69696969，57125712.

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