B

$A$、$\because \angle 1=\angle 2$，$AB$为公共边，若$AC=AD$，则$\triangle ABC$≌$\triangle ABD\left(SAS\right)$，故本选项错误；
$B$、$\because \angle 1=\angle 2$，$AB$为公共边，若$BC=BD$，则不一定能使$\triangle ABC$≌$\triangle ABD$，故本选项正确；
$C$、$\because \angle 1=\angle 2$，$AB$为公共边，若$\angle C=\angle D$，则$\triangle ABC$≌$\triangle ABD\left(AAS\right)$，故本选项错误；
$D$、$\because \angle 1=\angle 2$，$AB$为公共边，若$\angle 3=\angle 4$，则$\triangle ABC$≌$\triangle ABD\left(ASA\right)$，故本选项错误；
故选：$B$.