C

如图，设$CE$与$AD$交于点$O$，

$\because AC=BC$，$\angle ACB=90^{\circ}$，
$\therefore \angle ABC=\angle BAC=45^{\circ}$，
$\because AD$平分$\angle BAC$，
$\therefore \angle BAD=\angle CAD=22.5^{\circ}$，
$\because CE\bot AD$，
$\therefore \angle AOE=\angle AOC=90^{\circ}$，
$\therefore \angle AEO=\angle ACO=\angle AEO=67.5^{\circ}$，
$\therefore AC=AE$，
故①正确，符合题意；
$\because \angle ACB=90^{\circ}$，
$\therefore \angle BCE=\angle CAG=22.5^{\circ}$，
在$\triangle ACG$和$\triangle CBE$中，
$\left\{\begin{array}{l}∠BCE=∠CAG\\ BC=AC\\∠CBE=∠ACG\end{array}\right.$，
$\therefore \triangle ACG$≌$\triangle CBE\left(ASA\right)$，
$\therefore CG=BE$，
$\because \angle ACB=90^{\circ}$，
$\therefore \angle ADC=67.5^{\circ}$，
$\because \angle CGD=\angle ACG+\angle CAD=45^{\circ}+22.5^{\circ}=67.5^{\circ}$，
$\therefore \angle CGD=\angle ADC=67.5^{\circ}$，
$\therefore CG=CD$，
$\therefore CD=BE$，
故②正确，符合题意；
$\because CE\bot AD$，
$\therefore DO=GO$，
$\therefore CE$垂直平分$DG$，
$\therefore DP=PG$，
$\because \angle ACG=\angle BCG=45^{\circ}$，
$\therefore$可知$CG$所在直线垂直平分$AB$，
$\therefore BG=AG$，
$\therefore AD=AG+DG=BG+DG$，
故③错误，不符合题意；
$\because BG=AG$，
$\therefore \angle GAB=\angle GBA=\angle PCG=22.5^{\circ}$，
由上可知：$CD=CG$，$CD=BE$，
$\therefore CG=BE$，
在$\triangle PBE$和$\triangle PCG$中，
$\left\{\begin{array}{l}∠PBE=∠PCG\\∠BPE=∠CPG\\ BE=CG\end{array}\right.$，
$\therefore \triangle PBE$≌$\triangle PCG\left(AAS\right)$，
$\therefore PG=PE$，
故④正确，符合题意；
综上：①②④正确，符合题意，
故选：$C$.