抛物线$y=-\frac{1}{2}{x}^{2}+{bx}+2$交$x$轴于点$A$,$B$,交$y$轴于点$C$,经过$A$的直线$y=-x-1$交$y$轴于$G$.
$(1)$求抛物线解析式.
$(2)D$为第三象限上一点$,DE$∥$x$轴交抛物线另外一点$E$,设$E$点横坐标为$m$,$\angle AED$正切值为$n$,求$n$与$m$的函数关系.
$(3)$在（2）条件下,如图$3$,$\angle EAG=\angle DFG$,连接$DA$并延长交$y$轴于$F$,求点$D$坐标.