$\left(1\right)\because$直线$y=-x-1$与$x$轴交于点$A$，

$\therefore A\left(-1,0\right)$，

把点$A\left(-1,0\right)$代入$y=-\frac{1}{2}x^{2}+bx+2$，得$-\frac{1}{2}-b+2=0$，

解得：$b=\frac{3}{2}$，

$\therefore$抛物线解析式为$y=-\frac{1}{2}x^{2}+\frac{3}{2}x+2$.

$(2)$由题意得$E(m$，$-\frac{1}{2}m^{2}+\frac{3}{2}m+2)$，

由$y=-\frac{1}{2}{x}^{2}+\frac{3}{2}x+2$知抛物线的对称轴为直线$x=\frac{3}{2}$，

$\because DE$∥$x$轴，

$\therefore D$，$E$关于直线$x=\frac{3}{2}$对称，

$\therefore D(3-m$，$-\frac{1}{2}{m}^{2}+\frac{3}{2}m+2)$，

过点$A$作$AH\bot DE$于点$H$，如图：

$\because A\left(-1,0\right)$，

$\therefore AH=0-(-\frac{1}{2}{m}^{2}+\frac{3}{2}m+2)=\frac{1}{2}{m}^{2}-\frac{3}{2}m-2$，$EH=m-\left(-1\right)=m+1$，

$\because \angle AED$正切值为$n$，

$\therefore \frac{AH}{EH}=n$，

$\therefore n=\frac{\frac{1}{2}{m}^{2}-\frac{3}{2}m-2}{m+1}=\frac{1}{2}m-2$，

$\therefore n$与$m$的函数关系为$n=\frac{1}{2}m-2$；

$(3)$设直线$AE$交$y$轴于$K$，如图：

由$A\left(-1,0\right)$，$D(3-m$，$-\frac{1}{2}{m}^{2}+\frac{3}{2}m+2)$可得直线$AD$解析式为$y=\frac{m+1}{2}x+\frac{m+1}{2}$，

令$x=0$得$y=\frac{m+1}{2}$，

$\therefore F(0$，$\frac{m+1}{2})$；

由$A\left(-1,0\right)$，$E(m$，$-\frac{1}{2}m^{2}+\frac{3}{2}m+2)$可得直线$AE$解析式为$y=\frac{4-m}{2}x+\frac{4-m}{2}$，

令$x=0$得$y=\frac{4-m}{2}$，

$\therefore K(0$，$\frac{4-m}{2})$；

在$y=-x-1$中令$x=0$得$y=-1$，

$\therefore G\left(0,-1\right)$，

$\therefore FG=\frac{m+1}{2}-\left(-1\right)=\frac{m+3}{2}$，$KG=\frac{4-m}{2}-\left(-1\right)=\frac{6-m}{2}$，$AG=\sqrt{2}$，

$\because \angle EAG=\angle DFG$，$\angle AGK=\angle FGA$，

$\therefore \triangle AGK$∽$\triangle FGA$，

$\therefore \frac{AG}{FG}=\frac{KG}{AG}$，

$\therefore KG\cdot FG=AG^{2}$，

$\therefore \frac{6-m}{2}\cdot \frac{m+3}{2}=2$，

解得$m=5$或$m=-2($此时$D$不在第三象限，不符合题意，舍去），

$\therefore m=5$，

$\therefore 3-m=3-5=-2$，$-\frac{1}{2}{m}^{2}+\frac{3}{2}m+2=-\frac{1}{2}\times 25+\frac{15}{2}+2=-3$，

$\therefore D$的坐标为$\left(-2,-3\right)$.

$\left(1\right)\because$直线$y=-x-1$与$x$轴交于点$A$，

$\therefore A\left(-1,0\right)$，

把点$A\left(-1,0\right)$代入$y=-\frac{1}{2}x^{2}+bx+2$，得$-\frac{1}{2}-b+2=0$，

解得：$b=\frac{3}{2}$，

$\therefore$抛物线解析式为$y=-\frac{1}{2}x^{2}+\frac{3}{2}x+2$.

$(2)$由题意得$E(m$，$-\frac{1}{2}m^{2}+\frac{3}{2}m+2)$，

由$y=-\frac{1}{2}{x}^{2}+\frac{3}{2}x+2$知抛物线的对称轴为直线$x=\frac{3}{2}$，

$\because DE$∥$x$轴，

$\therefore D$，$E$关于直线$x=\frac{3}{2}$对称，

$\therefore D(3-m$，$-\frac{1}{2}{m}^{2}+\frac{3}{2}m+2)$，

过点$A$作$AH\bot DE$于点$H$，如图：

$\because A\left(-1,0\right)$，

$\therefore AH=0-(-\frac{1}{2}{m}^{2}+\frac{3}{2}m+2)=\frac{1}{2}{m}^{2}-\frac{3}{2}m-2$，$EH=m-\left(-1\right)=m+1$，

$\because \angle AED$正切值为$n$，

$\therefore \frac{AH}{EH}=n$，

$\therefore n=\frac{\frac{1}{2}{m}^{2}-\frac{3}{2}m-2}{m+1}=\frac{1}{2}m-2$，

$\therefore n$与$m$的函数关系为$n=\frac{1}{2}m-2$；

$(3)$设直线$AE$交$y$轴于$K$，如图：

由$A\left(-1,0\right)$，$D(3-m$，$-\frac{1}{2}{m}^{2}+\frac{3}{2}m+2)$可得直线$AD$解析式为$y=\frac{m+1}{2}x+\frac{m+1}{2}$，

令$x=0$得$y=\frac{m+1}{2}$，

$\therefore F(0$，$\frac{m+1}{2})$；

由$A\left(-1,0\right)$，$E(m$，$-\frac{1}{2}m^{2}+\frac{3}{2}m+2)$可得直线$AE$解析式为$y=\frac{4-m}{2}x+\frac{4-m}{2}$，

令$x=0$得$y=\frac{4-m}{2}$，

$\therefore K(0$，$\frac{4-m}{2})$；

在$y=-x-1$中令$x=0$得$y=-1$，

$\therefore G\left(0,-1\right)$，

$\therefore FG=\frac{m+1}{2}-\left(-1\right)=\frac{m+3}{2}$，$KG=\frac{4-m}{2}-\left(-1\right)=\frac{6-m}{2}$，$AG=\sqrt{2}$，

$\because \angle EAG=\angle DFG$，$\angle AGK=\angle FGA$，

$\therefore \triangle AGK$∽$\triangle FGA$，

$\therefore \frac{AG}{FG}=\frac{KG}{AG}$，

$\therefore KG\cdot FG=AG^{2}$，

$\therefore \frac{6-m}{2}\cdot \frac{m+3}{2}=2$，

解得$m=5$或$m=-2($此时$D$不在第三象限，不符合题意，舍去），

$\therefore m=5$，

$\therefore 3-m=3-5=-2$，$-\frac{1}{2}{m}^{2}+\frac{3}{2}m+2=-\frac{1}{2}\times 25+\frac{15}{2}+2=-3$，

$\therefore D$的坐标为$\left(-2,-3\right)$.