D

$\because$抛物线$y=x^{2}+2$的顶点坐标为：$\left(0,2\right)$，
$\therefore$抛物线向左平移$2$个单位，再向下平移$1$个单位，所得新抛物线的顶点坐标为：$\left(-2,1\right)$，
$\therefore$所得新抛物线的解析式为：$y=\left(x+2\right)^{2}+1$.
故选：$D$.