$\left(1\right)10\div 2=5(秒)$，$14\div 4=\frac{7}{2}($秒)。
当运动时间为$t(0\leqslant t\leqslant \frac{7}{2})$秒时，$AP=2t cm$，$BQ=4t cm$，$BP=AB-AP=\left(10-2t\right)cm$，
根据题意得：$\frac{1}{2}\times 4t\times \left(10-2t\right)=16$，
整理得：$t^{2}-5t+4=0$，
解得：$t_{1}=1$，$t_{2}=4(不符合题意，舍去)$。
答：$1$秒后，$\triangle PBQ$的面积等于$16cm^{2}$；
$(2)$在运动过程中，不存在这样的时刻，使以点$P$为圆心，$AP$为半径的圆正好经过点$Q$，理由如下：
假设存在，当运动时间为$t(0\leqslant t\leqslant \frac{7}{2})$秒时，$AP=2t cm$，$BQ=4t cm$，$BP=AB-AP=\left(10-2t\right)cm$，
根据题意得：$AP^{2}=PQ^{2}$，
即$\left(2t\right)^{2}=\left(10-2t\right)^{2}+\left(4t\right)^{2}$，
整理得：$4t^{2}-10t+25=0$，
$\because \Delta =\left(-10\right)^{2}-4\times 4\times 25=-300 \lt 0$，
$\therefore$原方程没有实数根，
$\therefore$假设不成立，
即在运动过程中，不存在这样的时刻，使以点$P$为圆心，$AP$为半径的圆正好经过点$Q$.

$\left(1\right)10\div 2=5(秒)$，$14\div 4=\frac{7}{2}($秒)。
当运动时间为$t(0\leqslant t\leqslant \frac{7}{2})$秒时，$AP=2t cm$，$BQ=4t cm$，$BP=AB-AP=\left(10-2t\right)cm$，
根据题意得：$\frac{1}{2}\times 4t\times \left(10-2t\right)=16$，
整理得：$t^{2}-5t+4=0$，
解得：$t_{1}=1$，$t_{2}=4(不符合题意，舍去)$。
答：$1$秒后，$\triangle PBQ$的面积等于$16cm^{2}$；
$(2)$在运动过程中，不存在这样的时刻，使以点$P$为圆心，$AP$为半径的圆正好经过点$Q$，理由如下：
假设存在，当运动时间为$t(0\leqslant t\leqslant \frac{7}{2})$秒时，$AP=2t cm$，$BQ=4t cm$，$BP=AB-AP=\left(10-2t\right)cm$，
根据题意得：$AP^{2}=PQ^{2}$，
即$\left(2t\right)^{2}=\left(10-2t\right)^{2}+\left(4t\right)^{2}$，
整理得：$4t^{2}-10t+25=0$，
$\because \Delta =\left(-10\right)^{2}-4\times 4\times 25=-300 \lt 0$，
$\therefore$原方程没有实数根，
$\therefore$假设不成立，
即在运动过程中，不存在这样的时刻，使以点$P$为圆心，$AP$为半径的圆正好经过点$Q$.