如图,在$\triangle ABC$中,$\angle B=90^{\circ}$,$AB=10cm$,$BC=14cm$,点$P$从点$A$出发沿边$AB$以$2cm/s$的速度向点$B$移动,同时,点$Q$从点$B$出发沿边$BC$以$4cm/s$的速度向点$C$移动.当$P$、$Q$两点中有一点到达终点时,另一点随之停止运动.
$(1)$几秒后,$\triangle PBQ$的面积等于$16cm^{2}$?
$(2)$在运动过程中,是否存在这样的时刻,使以点$P$为圆心,$AP$为半径的圆正好经过点$Q$?若存在,求出运动时间,若不存在,请说明理由.