（1）点$A\left(0,1\right)$，则直线$AC:y=kx+1$，
将点$\left(-2,2\right)$代入上式得：$2=-2k+1$，则$k=-\frac{1}{2}$，
则直线$AC$的表达式为：$y=-\frac{1}{2}x+1$，
令$y=0$，则$x=2$，即点$C\left(2,0\right)$，
由直线$AB:y=x+1$知，点$B\left(-1,0\right)$；
$(2)P\left(a,0\right)$，则点$M$、$N$的坐标分别为：$\left(a,a+1\right)$、$(a$，$-\frac{1}{2}a+1)$，
$\because MN=\frac{1}{2}PN$，则$|-\frac{1}{2}a+1-a-1|=\frac{1}{2}|-\frac{1}{2}a+1|$，
解得：$a=-\frac{2}{5}$或$\frac{2}{7}$，
则点$P(-\frac{2}{5}$，$0)$或（$\frac{2}{7}$，$0)$；
$(3)P\left(a,0\right)$，则点$M$、$N$的坐标分别为：$\left(a,a+1\right)$、$(a$，$-\frac{1}{2}a+1)$，
当${S}_{△APM}=\frac{1}{2}{S}_{△AMN}$时，即$MN=2MP$，
即$|-\frac{1}{2}a+1-a-1|=2|a+1|$，
解得：$a=-\frac{4}{7}$或$-4$，
即点$P\left(-4,0\right)$或$(-\frac{4}{7}$，$0)$，
故答案为：$\left(-4,0\right)$或$(-\frac{4}{7}$，$0)$；
$(4)$由点$Q$的坐标得，点$Q$在直线$y=x-1$上，
当$\angle AQC=90^{\circ}$时，设点$Q\left(m,m-1\right)$，

过点$Q$作$x$轴的平行线交$y$轴于点$T$，交过点$C$和$y$轴的平行线于点$S$，
$\because \angle AQC=90^{\circ}$，
$\therefore \angle AQT+\angle SQC=90^{\circ}$，$\angle SQC+\angle QCS=90^{\circ}$，
$\therefore \angle AQT=\angle ACS$，
$\therefore \triangle AQT$∽$\triangle QCS$，
$\therefore \frac{TQ}{QT}=\frac{SC}{QS}$，即$\frac{m}{1-m+1}=\frac{1-m}{2-m+1}$，
解得：$m=2$或$\frac{1}{2}$，
即点$Q\left(2,1\right)$或（$\frac{1}{2}$，$-\frac{1}{2})$；
当$\angle ACQ=90^{\circ}$或$\angle CAQ=90^{\circ}$时，
$\because$直线$AC$的表达式为：$y=-\frac{1}{2}x+1$，
则直线$AQ$或$CQ$的表达式分别为：$y=2x+2$或$y=2\left(x-2\right)$，
联立上式和$y=x-1$得：$x-1=2x+2$或$x-1=2\left(x-2\right)$，
解得：$x=-2$或$3$，
即点$Q\left(-2,-3\right)$或$\left(3,2\right)$；
综上，$Q\left(2,1\right)$或（$\frac{1}{2}$，$-\frac{1}{2})$或$\left(-2,-3\right)$或$\left(3,2\right)$.
故答案为：$\left(2,1\right)$或（$\frac{1}{2}$，$-\frac{1}{2})$或$\left(-2,-3\right)$或$\left(3,2\right)$.

（1）点$A\left(0,1\right)$，则直线$AC:y=kx+1$，
将点$\left(-2,2\right)$代入上式得：$2=-2k+1$，则$k=-\frac{1}{2}$，
则直线$AC$的表达式为：$y=-\frac{1}{2}x+1$，
令$y=0$，则$x=2$，即点$C\left(2,0\right)$，
由直线$AB:y=x+1$知，点$B\left(-1,0\right)$；
$(2)P\left(a,0\right)$，则点$M$、$N$的坐标分别为：$\left(a,a+1\right)$、$(a$，$-\frac{1}{2}a+1)$，
$\because MN=\frac{1}{2}PN$，则$|-\frac{1}{2}a+1-a-1|=\frac{1}{2}|-\frac{1}{2}a+1|$，
解得：$a=-\frac{2}{5}$或$\frac{2}{7}$，
则点$P(-\frac{2}{5}$，$0)$或（$\frac{2}{7}$，$0)$；
$(3)P\left(a,0\right)$，则点$M$、$N$的坐标分别为：$\left(a,a+1\right)$、$(a$，$-\frac{1}{2}a+1)$，
当${S}_{△APM}=\frac{1}{2}{S}_{△AMN}$时，即$MN=2MP$，
即$|-\frac{1}{2}a+1-a-1|=2|a+1|$，
解得：$a=-\frac{4}{7}$或$-4$，
即点$P\left(-4,0\right)$或$(-\frac{4}{7}$，$0)$，
故答案为：$\left(-4,0\right)$或$(-\frac{4}{7}$，$0)$；
$(4)$由点$Q$的坐标得，点$Q$在直线$y=x-1$上，
当$\angle AQC=90^{\circ}$时，设点$Q\left(m,m-1\right)$，

过点$Q$作$x$轴的平行线交$y$轴于点$T$，交过点$C$和$y$轴的平行线于点$S$，
$\because \angle AQC=90^{\circ}$，
$\therefore \angle AQT+\angle SQC=90^{\circ}$，$\angle SQC+\angle QCS=90^{\circ}$，
$\therefore \angle AQT=\angle ACS$，
$\therefore \triangle AQT$∽$\triangle QCS$，
$\therefore \frac{TQ}{QT}=\frac{SC}{QS}$，即$\frac{m}{1-m+1}=\frac{1-m}{2-m+1}$，
解得：$m=2$或$\frac{1}{2}$，
即点$Q\left(2,1\right)$或（$\frac{1}{2}$，$-\frac{1}{2})$；
当$\angle ACQ=90^{\circ}$或$\angle CAQ=90^{\circ}$时，
$\because$直线$AC$的表达式为：$y=-\frac{1}{2}x+1$，
则直线$AQ$或$CQ$的表达式分别为：$y=2x+2$或$y=2\left(x-2\right)$，
联立上式和$y=x-1$得：$x-1=2x+2$或$x-1=2\left(x-2\right)$，
解得：$x=-2$或$3$，
即点$Q\left(-2,-3\right)$或$\left(3,2\right)$；
综上，$Q\left(2,1\right)$或（$\frac{1}{2}$，$-\frac{1}{2})$或$\left(-2,-3\right)$或$\left(3,2\right)$.
故答案为：$\left(2,1\right)$或（$\frac{1}{2}$，$-\frac{1}{2})$或$\left(-2,-3\right)$或$\left(3,2\right)$.