如图,直线$AB:y=x+1$交$y$轴交于点$A\left(0,1\right)$,交$x$轴于点$B$；直线$AC:y=kx+b$过点$\left(-2,2\right)$,且交$x$轴于点$C$,$x$轴有一动点$P\left(a,0\right)$,过$P$点作$x$轴垂线交直线$AC$于点$N$,交直线$AB$于点$M$.
$(1)$求直线$AC$:$y$$=$$kx$$+$$b$解析式及$B$、$C$点坐标；
$(2)$是否存在$P$点,使得$MN=\frac{1}{2}PN$?若存在,求出$P$点坐标.若不存在,请说明理由.
$(3)$当${S}_{△APM}=\frac{1}{2}{S}_{△AMN}$时,直接写出$P$点坐标是______；
$(4)$已知平面内有一点$Q$$($$k$,$k$$-1)$,当$\triangle$$ACQ$为直角三角形,直接写出$Q$点坐标是______.