根据题意得$\Delta =\left(-8\right)^{2}-4m\geqslant 0$，解得$m\leqslant 16$，
当$3$是腰时，$3$是方程的一个根，把$x=3$代入方程得$9-24+m=0$，
解得$m=15$，
此时方程的另一根为$5$，
$\because 3+3 \gt 5$，
$\therefore$三角形存在；
两腰都是方程的根时，即方程有两个相等根，
$\therefore \Delta =0$，
则$m=16$，
此时两根都为$4$，
三角形存在，
综上所述，$m=15$或$16$，
故答案为：$15$或$16$.

根据题意得$\Delta =\left(-8\right)^{2}-4m\geqslant 0$，解得$m\leqslant 16$，
当$3$是腰时，$3$是方程的一个根，把$x=3$代入方程得$9-24+m=0$，
解得$m=15$，
此时方程的另一根为$5$，
$\because 3+3 \gt 5$，
$\therefore$三角形存在；
两腰都是方程的根时，即方程有两个相等根，
$\therefore \Delta =0$，
则$m=16$，
此时两根都为$4$，
三角形存在，
综上所述，$m=15$或$16$，
故答案为：$15$或$16$.